二次根式取值范围怎么求？一位老师傅的肺腑之言

说起二次根式取值范围这道题，我就想起去年带过的一个学生。这孩子平时数学成绩不错，一遇到根号里套字母的题目就懵圈。他跟我说："老师，我明明觉得算对了，结果老师给我画了个大叉，我也不知道哪儿错了。"后来我发现，问题出在他根本就没搞明白二次根式到底在"矜持"什么。

二次根式这玩意儿，看着简单，其实有个硬性条件：根号里面的表达式必须大于等于零。就这么一个条件，难倒了无数英雄好汉。今天咱们就掰开了、揉碎了，把二次根式取值范围这类题型彻底讲透。文章结尾我会分享一些实用的学习建议，希望能帮到正在为这部分内容发愁的同学们。

先搞懂：二次根式为什么这么"矫情"

在实数范围内，平方根只有非负数才有意义。你可以想一个问题：有没有哪个实数的平方是负数？答案是没有。所以在数学里，我们给二次根式设了一个门槛——被开方数必须非负。这个门槛不是数学家们故意为难学生，而是由实数本身的性质决定的。

用式子表示就是：如果我们写成 $\sqrt{a}$，那么必须满足 $a \geq 0$。这里 $a$ 可以是数字，也可以是含有字母的代数式。当 $a$ 是代数式时，求 $a \geq 0$ 的过程，就是我们说的求二次根式的取值范围。

举个最简单的例子。$\sqrt{x-2}$ 这个式子有意义的前提是 $x-2 \geq 0$，解出来就是 $x \geq 2$。这就是这道题的答案范围。看起来很简单对吧？但考试的时候绝对不会考这么直接的题目，往往会把简单的东西包装得很复杂，让同学们看不出本来面目。

题型一：分母里藏着二次根式

这种情况稍微麻烦一点，因为除了根号里面有要求，分母还不能为零。我给大家打个比方：根号是第一道门，分母是第二道门，两道门都得过，式子才有意义。

举个例子。$\frac{1}{\sqrt{x+1}}$ 这个式子要成立，需要同时满足两个条件：

• 根号里面有货：$x+1 \geq 0$，即 $x \geq -1$
• 分母不能为空：$\sqrt{x+1} \neq 0$，也就是 $x+1 \neq 0$，即 $x \neq -1$

把这两个条件放在一起看，$x \geq -1$ 且 $x \neq -1$，最后得到的结果就是 $x > -1$。你看，明明根号里面写着 $x+1 \geq 0$，结果却要把 $-1$ 剔除出去，这就是很多同学容易踩的坑。

我再出一道题给大家练练手。求 $\frac{\sqrt{x-3}}{x-5}$ 的取值范围。思路是这样的：先写根号里面的条件 $x-3 \geq 0$，得到 $x \geq 3$；再写分母不等于零的条件 $x-5 \neq 0$，得到 $x \neq 5$。两个条件取交集，最后答案是 $x \geq 3$ 且 $x \neq 5$。

在这里我要特别提醒一下：当两个条件同时存在时，一定要取交集，不能各算各的然后随便拼凑。有些同学算出 $x \geq 3$ 和 $x \neq 5$ 之后，不知道该怎么处理。其实很简单，在数轴上把 $x \geq 3$ 画出来，然后挖掉 $x=5$ 这个点，剩下的就是答案。

题型二：二次根式藏在不等式里

这类题目更考验思维灵活性。常见的形式是让你解 $\sqrt{f(x)} > g(x)$ 或者 $\sqrt{f(x)} < g>先把二次根式的取值范围确定好，再结合不等式的条件综合分析。

以 $\sqrt{x+2} > x$ 为例。第一步永远是确定定义域：$x+2 \geq 0$，所以 $x \geq -2$。接下来我们要在这个范围内讨论不等式什么时候成立。

这时候需要注意一个关键点：二次根式的结果是非负的。也就是说 $\sqrt{x+2} \geq 0$ 永远成立。如果右边的 $x$ 是负数，那么不等式肯定成立——因为左边至少是 0，右边却是负数，0 当然大于负数。所以当 $x < 0>

那当 $x \geq 0$ 的时候呢？两边都是非负数，我们可以放心大胆地两边平方。平方之后得到 $x+2 > x^2$，整理成 $x^2 - x - 2 < 0>

把两部分合起来：$x < 0 x=-2$ sqrt{0}=0$，右边 x=-2$，0>

这种题目做多了就会发现套路：先找定义域，再根据右边表达式的正负决定是否需要分情况讨论，最后两边平方的时候一定要确保两边都是非负的。平方这个操作是有风险的，必须在同号的前提下才能用。

题型三：双重二次根式的取值范围

还有一种让同学们头疼的题型：根号里面还有根号。比如 $\sqrt{\sqrt{x}-1}$ 这种式子。这时候我们需要"由内而外"一层一层地分析条件。

对于 $\sqrt{\sqrt{x}-1}$，首先最里面的根号要有意义：$\sqrt{x} \geq 0$，这个对所有 $x \geq 0$ 都成立，所以暂时不用管。然后外面的根号要求里面的表达式 $\sqrt{x}-1 \geq 0$，也就是 $\sqrt{x} \geq 1$，两边平方得到 $x \geq 1$。

所以这道题的答案是 $x \geq 1$。如果是更复杂的 $\sqrt{\sqrt{x-2}-3}$，那就继续往外推：先保证 $\sqrt{x-2}$ 有意义，即 $x \geq 2$；再保证 $\sqrt{x-2}-3 \geq 0$，即 $\sqrt{x-2} \geq 3$，两边平方得 $x-2 \geq 9$，即 $x \geq 11$。

我发现很多同学做这种题目的时候容易混乱，记不清到底有几层条件。我的建议是用括号分层，从最里面的括号开始写条件，一层一层往外推，每一层都写清楚，这样思路会清晰很多。

题型四：二次根式等于一个具体的数

有时候题目会这样出：已知 $\sqrt{2x-6} = \sqrt{x-3}$，求 $x$ 的值。这种题目看起来像方程，实际上考的仍然是取值范围的概念。

首先，两边都是二次根式，所以两边都必须有定义。左边的定义域是 $2x-6 \geq 0$，即 $x \geq 3$；右边的定义域是 $x-3 \geq 0$，也是 $x \geq 3$。所以 $x \geq 3$ 是这道题的大前提。

接下来解方程。因为两边都是非负的，可以直接平方。平方之后得到 $2x-6 = x-3$，解得 $x=3$。然后检查一下这个解是否在定义域内：$x=3 \geq 3$，符合条件，所以 $x=3$ 就是答案。

如果解出来的结果不在定义域范围内，那就说明这个方程没有解。比如 $\sqrt{x} = \sqrt{x-1}$ 这个方程，平方之后得到 $x = x-1$，也就是 $0=-1$，明显矛盾，所以无解。从定义域的角度看，左边要求 $x \geq 0$，右边要求 $x \geq 1$，交集是 $x \geq 1$。但在这个范围内，$\sqrt{x}$ 永远大于 $\sqrt{x-1}$，两者不可能相等，所以确实无解。

常见错误大揭秘

教了这么多年书，我发现同学们在二次根式取值范围这部分，踩的坑其实都差不多。我把最常见的几个错误整理成了下面的表格，大家可以对照着看看自己有没有这些问题。

这里面最隐蔽的错误是第三个。很多同学以为 $\sqrt{a} + \sqrt{b}$ 这种式子，只要考虑 $a \geq 0$ 就行了，殊不知 $b$ 也必须满足 $b \geq 0$。两个根号单独看都有定义，整个式子才有意义。所以在处理多个二次根式相加的情况时，每一个根号都要单独列条件。

给正在备考的同学几点建议

二次根式取值范围这类型题目，说到底考的是两样东西：一是对概念的理解是否透彻，二是分析问题是否细致。很多同学学不好这部分，不是脑子不够用，而是被一些看似简单实则很"坑"的细节绊倒了。

我建议大家在做题的时候养成一个习惯：每拿到一道题，先不要急着动笔，而是把所有的限制条件都找出来，写在草稿纸上。比如看到 $\frac{\sqrt{x-1}}{\sqrt{x+2}}$ 这道题，先写清楚左边根号要求 $x-1 \geq 0$，右边根号要求 $x+2 \geq 0$，分母要求 $\sqrt{x+2} \neq 0$ 所以 $x+2 \neq 0$。三个条件都列出来，再取交集，就不会遗漏了。

另外，学会用数轴来表示取值范围会很有帮助。特别是当条件比较复杂，既有大于等于又有小于等于，还有不等于的时候，在数轴上画一画，一目了然。考试的时候如果时间充裕，先在草稿纸上画个数轴，答案基本就出来了。

最后我想说说心态问题。很多同学一看到字母就害怕，觉得代数题比数字题难。其实不是这样的。字母本质上就是未知的数，你把它当成一个具体的但暂时不知道的数去分析就行了。二次根式的取值范围题目，核心永远是那一个条件：被开方数 $\geq 0$。把这个核心抓住，再复杂的包装都能一层层剥开。

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加油吧同学们，数学其实没有那么可怕，可怕的是在没有掌握方法的时候盲目刷题。掌握了方法，再难的题目也能找到突破口。希望今天的分享对你有帮助，咱们下次再聊。