当前位置： 首页 > 教育资讯 > 金博动态 > 北京初二物理一对一辅导杠杆平衡综合题
记得有一次给学生讲杠杆的时候，我问大家："你们觉得撬地球需要什么？"结果有个同学特别认真地说需要挖掘机，引得全班哄堂大笑。但仔细想想，这个孩子的回答反而提醒了我——在我们的日常认知里，好像真的很难把"一根棍子"和"撬动地球"这种宏伟的事情联系在一起。
阿基米德确实说过"给我一个支点，我能撬动地球"这句话。从物理学的角度来看，这并不是吹牛，而是对杠杆原理最精妙的概括。作为初二物理中最具代表性的力学模型之一，杠杆在中考中占据着举足轻重的地位，而杠杆平衡综合题更是让不少同学感到棘手的"硬骨头"。
在金博教育从事物理教学这些年，我接触过大量为杠杆题发愁的学生。他们普遍反映的一个问题是：公式明明很简单，动力×动力臂=阻力×阻力臂，但一旦题目变得复杂，就不知道该从哪里下手。这种困惑很常见，今天我们就来系统地聊一聊杠杆平衡综合题到底该怎么攻克。
在正式进入题目讲解之前，我想先带大家重新认识一下这位"老朋友"。说实话，很多同学学不好杠杆，根本原因不是题目做得不够多，而是从一开始就没有真正理解杠杆到底是什么。
你每天都会接触杠杆，只是可能没有意识到。剪刀是杠杆，夹子是杠杆，订书机是杠杆，就连你喝水时用的吸管，在某些情况下也能看作是杠杆。前几天还有个学生跟我说，他爸爸钓鱼时用的鱼竿特别长，他一直不明白为什么把鱼钓上来之后要先把鱼竿放倒才能把鱼拉上来——这其实就是杠杆原理在起作用啊！
当我们用鱼竿钓鱼时，手握住的位置相当于动力作用点，鱼对鱼钩的拉力是阻力，而鱼竿的支点就在手握持处附近。由于鱼竿很长，动力臂比阻力臂短得多，这时候直接向上抬鱼竿会非常费力。所以有经验的钓鱼人会先把鱼竿放倒一些，让支点移动到更合理的位置，或者干脆把鱼遛到岸边再用手直接提起来。
这个生活场景告诉我们一个重要的物理学习思路：所有看似复杂的题目，本质上都藏在我们的日常生活里。学会观察生活、理解现象，这才是学习物理的正确打开方式。
在金博教育的课堂上，我经常跟学生强调一个观点：基础不牢，地动山摇。杠杆这一章的概念看似简单，但恰恰是这些基础概念，决定了你能不能在综合题中拿到分数。
每一个杠杆都包含五个关键要素，缺一不可。支点是杠杆围绕转动的固定点，这一点必须首先找准。很多同学在解题时出错，就是因为支点判断失误。动力是使杠杆转动的力，阻力是阻碍杠杆转动的力，它们的方向往往相反。动力臂是从支点到动力作用线的垂直距离，阻力臂同理。
这里需要特别提醒大家注意"垂直距离"这四个字。物理教材上画图时，动力臂和阻力臂都是用虚线表示的，而且会打上垂直符号。这就意味着，我们画力臂的时候，必须先画好力的作用线，然后从支点向这条作用线作垂线，垂线的长度才是力臂。
我见过太多同学画图不规范，要么没画作用线就直接连线，要么忘了画垂直符号。这些小细节在考试中都是要扣分的。建议大家现在就在练习本上画几个杠杆示意图，检查一下自己的作图是否规范。
根据支点、动力作用点和阻力作用点的相对位置，杠杆可以分为三类：省力杠杆、费力杠杆和等臂杠杆。
| 杠杆类型 | 力臂关系 | 力的关系 | 典型例子 |
| 省力杠杆 | 动力臂>阻力臂 | 动力<阻力 | 撬棒、瓶盖起子 |
| 费力杠杆 | 动力臂<阻力臂 | 动力>阻力 | 筷子、镊子 |
| 等臂杠杆 | 动力臂=阻力臂 | 动力=阻力 | 天平、定滑轮 |
这个表格建议大家背下来，考试时经常会让判断杠杆类型。判断的方法很简单：先找到支点，再分别画出动力和阻力的示意图，然后比较两个力臂的长短就可以了。
阿基米德原理告诉我们，当杠杆静止不动或匀速转动时，就处于平衡状态。这时候必须满足F₁L₁=F₂L₂这个核心公式。
看起来很简洁，对吧？但就是这个简单的公式，可以变出无数种考查方式。在金博教育的教学中，我把杠杆平衡综合题大致分为以下几种类型：
这是中考中最常见的题型。题目会描述一个杠杆处于平衡状态，然后告诉你某个条件发生了变化，问你杠杆是否还能保持平衡，如果不能的话会向哪边倾斜。
这类题目的解题思路是固定的：假设杠杆仍然保持原来的平衡状态，然后分析变化后的F₁L₁和F₂L₂哪个更大。如果F₁L₁变大了，说明原来那边的"力量"增强了，杠杆就会向这边倾斜。
举个具体的例子。某杠杆两端分别挂着重力为G₁和G₂的物体，且G₁L₁=G₂L₂处于平衡。如果把G₁浸没在水中（不触底），G₁会变小，那么G₁L₁就会小于G₂L₂，杠杆会向G₂那边倾斜。这个分析过程你要能自己完整地写出来才算掌握。
这类题目通常问：用一个最小的力使杠杆平衡，这个力应该是多少？应该画在什么位置？
解题的关键在于理解：要让动力最小，就必须让动力臂最大。因为根据平衡公式F₁=G₂L₂/L₁，当阻力和阻力臂确定时，动力和动力臂成反比。动力臂越大，需要的动力就越小。
那怎么让动力臂最大呢？答案是：以杠杆的一端为支点，力的作用线与杠杆垂直。这时候动力臂就等于整个杠杆的长度，显然是最大值。
这个结论可以帮你快速判断最小力的位置，但具体作图时还是要严格按照力臂的画法来，不能凭感觉。
这是难度最大的一种类型，杠杆往往不是"标准形状"，或者支点不明确，或者同时受到多个力的作用。
比如常见的"悬臂梁"问题：一根均匀的木板搭在墙头上，一端伸出墙外，在伸出的一端挂一个重物，问木板是否会翻倒。这类问题的核心是判断顺时针力矩和逆时针力矩的大小关系。
当顺时针力矩等于逆时针力矩时，木板刚好处于临界状态；顺时针力矩大于逆时针力矩时，木板会顺时针翻倒，反之亦然。
光学不练假把式。下面我选几道比较有代表性的题目，带大家完整地走一遍解题过程。
如图所示，一根轻质杠杆可绕O点转动，在A端悬挂一个重力为50N的物体，要使杠杆在图示位置平衡，需要在B端施加一个竖直向上的力F。已知OA=0.4m，OB=1.2m。求F的大小。
这是一道基础题，但很多同学会在这里犯错。错误的原因通常是搞反了动力和阻力的位置。
正确的分析是：杠杆的支点在O点，A端挂的物体想让它向下转，所以A端的力是阻力；我们要施加的力F是想让它向上转，所以F是动力。根据杠杆平衡条件：
F×OB=G×OA
代入数值：F×1.2m=50N×0.4m
解得F=50×0.4÷1.2≈16.7N
这道题的关键是找准动力和阻力，以及它们对应的力臂。很多同学知道公式，但一画图就晕，建议大家养成习惯：先把支点用圆圈标出来，然后用不同颜色的笔分别画出动力和阻力的作用线和力臂。
一根长3m的均匀木棒，一端放在地上，另一端搁在高度为1.5m的墙头上。某人用400N的力竖直向上抬木棒刚好能使其平衡，求木棒的重力。
这道题的难点在于确定支点和力臂。
当木棒被抬起到即将离开地面的临界状态时，地面对木棒的支持力为零。这时候地面的接触点就是支点O。墙头的支撑点对木棒的支持力是阻力F₁，木棒重力G是另一个阻力，作用在木棒的中点。人的拉力F是动力，作用在木棒的另一端。
以O为支点，动力臂L₁就是整个木棒的长度3m。阻力臂需要分别计算：墙头支持力的力臂是从支点到墙头的水平距离，也就是1.5m（因为木棒与墙面刚好形成等腰三角形）；木棒重力的力臂是中点到支点的距离1.5m。
根据平衡条件：
F×L₁=F₁×L₂+G×L₃
400N×3m=F₁×1.5m+G×1.5m
而墙头对木棒的支持力F₁应该等于木棒对墙头的压力，根据牛顿第三定律，这个压力在数值上等于人拉力的水平分量吗？不对，这里应该换个思路。
实际上，当木棒平衡时，墙头的支持力F₁和人的拉力F在竖直方向的分量应该等于木棒重力。考虑到这是共点力的问题，可能我刚才的受力分析有误。
让我们换个角度思考。以O为支点，墙头对木棒的支持力F₁是向上的，作用点在墙头处。设木棒与地面夹角为θ，则sinθ=1.5/3=0.5，θ=30°。
F₁的力臂是木棒在墙头处的竖直投影到支点的距离，即1.5m×cos30°？不对，这样想太复杂了。
正确的力臂计算是：从支点O向F₁的作用线作垂线。由于F₁是竖直向上的，而木棒与竖直方向成30°角，所以F₁的力臂应该是木棒长度乘以sin30°，即3m×0.5=1.5m。
木棒重力G的作用点在木棒中点，也就是距支点1.5m处。G的力臂是1.5m×cos30°≈1.3m。
人的拉力F作用在木棒末端，竖直向上。F的力臂是木棒长度乘以sin30°=1.5m？不对，应该是3m×cos30°≈2.6m。
我发现刚才的思路有些混乱，换一种更清晰的方法：
以O为支点，木棒与地面成30°角。F₁作用在墙头处，力臂是从O到F₁作用线的垂直距离。F₁是竖直向上的，它的作用线到O点的水平距离是墙头的水平位置，即1.5m×cos30°≈1.3m。
G作用在中点，水平位置是1.5m×cos30°≈1.3m，所以G的力臂也是1.3m。
F作用在末端，水平位置是3m×cos30°≈2.6m，所以F的力臂是2.6m。
但这样分析的话，题目条件不够，我们少了一个关系式。
回到题目，题目说人用400N的力竖直向上抬木棒刚好平衡。根据力的分解，F可以分解为沿木棒方向和垂直木棒方向的两个分力。不过这道题其实有更简单的解法。
当木棒平衡时，以O为支点，各力的力矩平衡。F和G产生的力矩要平衡F₁产生的力矩。
考虑到木棒是均匀的，G的作用点在中心。设木棒与竖直墙面的夹角为θ，则sinθ=1.5/3=0.5，θ=30°。
F的力臂是3×cos30°=3×√3/2≈2.598m
G的力臂是1.5×cos30°=1.5×√3/2≈1.299m
F₁的力臂是1.5×sin30°=1.5×0.5=0.75m
平衡方程：F×2.598m = G×1.299m + F₁×0.75m
而根据竖直方向的力平衡：F + F₁ = G
但题目中F₁其实是墙头的支持力，不是外加的力。这样想不对。
正确的受力分析应该是这样的：木棒受到三个力：人的拉力F向上，重力G向下，墙头的支持力F₁向上。三个力平衡，所以F + F₁ = G。
力矩平衡以O为支点：F的力矩是F×3×cos30°，G的力矩是G×1.5×cos30°，这两个力矩方向相同（都使木棒顺时针转动），而F₁的力矩是F₁×1.5×sin30°，使木棒逆时针转动。
所以平衡方程：F×3×cos30° + G×1.5×cos30° = F₁×1.5×sin30°
代入数值：F×3×0.866 + G×1.5×0.866 = F₁×1.5×0.5
2.598F + 1.299G = 0.75F₁
又F + F₁ = G
代入F=400N：2.598×400 + 1.299G = 0.75(G-400)
1039.2 + 1.299G = 0.75G - 300
1039.2 + 300 = 0.75G - 1.299G
1339.2 = -0.549G
G为负？这说明我的受力分析和力矩分析都有问题。
让我重新画图分析。当木棒被抬起时，墙头的支持力应该是斜向左上方的，因为木棒对墙头有向左的压力。墙头对木棒的支持力方向应该是垂直于墙面的，也就是水平向左的。
这样受力就清楚了：木棒受到三个力——人的拉力F竖直向上，重力G竖直向下，墙头的支持力F₁水平向左。
以O为支点：
F的力臂：3m×cos30°≈2.598m，使木棒逆时针转动
G的力臂：1.5m×cos30°≈1.299m，使木棒顺时针转动
F₁的力臂：墙头处的木棒到支点的垂直距离是1.5m（因为木棒与墙面垂直），所以力臂是1.5m，使木棒顺时针转动
平衡方程（逆时针力矩=顺时针力矩）：
F×2.598m = G×1.299m + F₁×1.5m
400×2.598 = 1.299G + 1.5F₁
1039.2 = 1.299G + 1.5F₁
还有一个方程来自水平方向受力平衡：F₁ = F×sin30°？不对，人的拉力是竖直向上的，不能直接产生水平分量。
等等，墙头的支持力F₁确实应该是水平向左的，但这个力是怎么产生的？是木棒挤压墙面，墙面给木棒的反作用力。
从几何关系来看，当木棒与墙面成30°角时，墙头到地面的水平距离是1.5m×cos30°≈1.3m，所以木棒在墙头处对墙面的压力在水平方向的分量应该与这个距离有关，但这个力的大小不是直接能算出来的。
我意识到这道题可能需要用另一种思路来解。考虑到杠杆的平衡，我们可以用力矩的概念而不必纠结于具体的受力细节。
杠杆的支点在O点，A端（墙头处）受到的支持力可以分解为两个分力：竖直向上的分力和水平向左的分力。但这样分析下去会越来越复杂。
换一种更简单的方法：把木棒看作一个整体，在平衡状态下，绕O点转动时顺时针力矩和逆时针力矩相等。
使木棒顺时针转动的力矩来自木棒重力G和墙头对木棒的水平推力F₁；使木棒逆时针转动的力矩来自人的拉力F。
从力的分解来看，F可以分解为一个沿木棒方向的分力Fcos30°和一个垂直木棒方向的分力Fsin30°。其中垂直分力Fsin30°会产生使木棒逆时针转动的力矩，这个力矩的大小是(Fsin30°)×3m。
而沿木棒方向的分力不会产生转动效果，因为它的作用线通过支点。
木棒重力G产生的力矩是G×1.5m×cos30°，顺时针。
墙头的支持力F₁是水平向左的，它产生的力矩是F₁×1.5m×sin30°，因为从支点到F₁作用线的垂直距离是木棒在竖直方向的高度1.5m乘以sin30°？不对，这样理解不对。
正确的力臂计算：F₁水平向左，作用在墙头处。从支点O到F₁作用线的垂直距离应该是墙头到地面的高度1.5m，因为F₁是水平的，而O点到水平线的距离就是1.5m。
所以F₁的力臂是1.5m，使木棒顺时针转动。
现在力矩平衡方程：
F×sin30°×3m = G×1.5m×cos30° + F₁×1.5m
400×0.5×3 = G×1.5×0.866 + 1.5F₁
600 = 1.299G + 1.5F₁ ——(1)
水平方向力平衡：F₁ = 0？不对，水平方向没有其他力了。等等，人的拉力F是竖直向上的，不能分解出水平分量。
我意识到这道题的正确解法应该是这样的：墙头的支持力其实是垂直于木棒的，因为木棒只能对墙面产生垂直于墙面的压力（假设墙面光滑）。
如果墙头对木棒的支持力是垂直于木棒的，那么这个力的方向是与木棒成30°角斜向左上方的。
把这个支持力F₁分解：水平分量F₁sin30°向左，竖直分量F₁cos30°向上。
竖直方向平衡：F + F₁cos30° = G
水平方向平衡：F₁sin30° = 0？这说明木棒对墙面的压力必须由其他力来平衡，但题目中没有其他水平力，所以这个假设也不对。
正确的理解应该是：墙头的支持力是水平向左的，因为木棒有向左滑动的趋势，所以墙面给木棒一个水平向右的摩擦力？不对，这样想就变成静力学问题了。
让我重新审题。题目说"一根长3m的均匀木棒，一端放在地上，另一端搁在高度为1.5m的墙头上"。这种情况下，当木棒平衡时，墙头对木棒的支持力确实应该是水平向左的，因为木棒在竖直方向的重力和人的拉力都被地面和墙头共同支撑了。
但这样的话，水平方向就没有力来平衡F₁了。除非——地面对木棒也有水平摩擦力。
对！这才是完整的受力分析。地面O点对木棒有竖直向上的支持力N和水平向右的摩擦力f。墙头对木棒有水平向左的支持力F₁。人的拉力F竖直向上，重力G竖直向下。
竖直方向平衡：N + F = G
水平方向平衡：f = F₁
以O为支点，考虑力矩平衡：
逆时针力矩：F×3m×cos30° + f×1.5m
顺时针力矩：G×1.5m×cos30° + F₁×1.5m
由于f=F₁，这两个力矩相互抵消，所以简化为：
F×3×cos30° = G×1.5×cos30°
两边都有cos30°，可以约掉：
F×3 = G×1.5
G = 2F = 2×400N = 800N
原来如此！木棒的重力是800N。
这道题告诉我们一个道理：遇到复杂受力问题时，不要急于套公式，先把受力分析做清楚，很多看似复杂的关系会自然简化。
杠杆平衡这部分内容，在中考中通常以计算题和实验题的形式出现。计算题一般会给出具体数据让你求力或力臂，实验题则会考查你对平衡条件的理解以及对实验误差的分析能力。
根据在金博教育的教学经验，我给大家几点建议：
学习杠杆的过程，其实也是一个理解"平衡"的过程。物理上的平衡讲究力与力矩的相等，人生中的平衡则需要我们不断调整、不断适应。希望正在备考的你能从杠杆的学习中找到乐趣，也希望你能把这份专注和坚持延伸到生活的方方面面。
如果你在物理学习上还有其他困惑，欢迎来到金博教育，我们一起探讨、一起进步。物理的世界很大，值得你去探索。
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