应用题里藏着的"秘密"：如何找到那些等量关系

记得有一次，我给学生讲一道行程问题，讲了整整四十分钟，学生还是一脸茫然。后来我发现，问题不在于他不懂公式，而是他根本不知道题目里哪些信息之间存在"等量"关系。从那以后，我备课的重点就从"怎么讲清楚公式"变成了"怎么引导学生找到等量关系"。这个转变，也让我的教学效果有了明显提升。

在初中数学的应用题中，等量关系就像一把钥匙。没有它，你就算把公式背得再熟，也无法打开解题的大门。今天，我想和大家聊聊，在一对一辅导中，我是怎样帮学生一点点学会寻找等量关系的。这个过程没有那么多技巧性的东西，更多的还是回归到题目本身，回归到对生活常识的理解。

什么是等量关系？为什么它那么重要？

简单来说，等量关系就是题目中"相等"的那个部分。它可能是一个公式，可能是一个等式，也可能是几个量之间的平衡状态。行程问题中"速度×时间=路程"是等量关系，销售问题中"利润=售价-进价"是等量关系，甚至工程问题中"工作效率×工作时间=工作总量"也是等量关系。

但有意思的是，很多学生在读题的时候，眼睛扫过这些信息，却识别不出它们之间的联系。他们把题目当成一堆零散的条件，而没有意识到这些条件正在"暗示"某种等式。这就是为什么有些学生明明很努力，成绩却始终上不去——他们缺的不是计算能力，而是识别等量关系的能力。

在一对一辅导中，我发现最有效的办法不是直接告诉学生"这道题的等量关系是什么"，而是引导学生自己去发现、去验证。当学生自己说出来"老师，我发现这两个速度虽然不一样，但他们走的时间相同，所以路程应该可以比"的时候，那一刻的成就感是任何讲解都给不了的。

三种最基本的寻找方法

第一种：关键词定位法

这是最适合初学者的方法，也是我在带新学生时首先会教的方法。仔细读题，圈出那些带有"相等""等于""同样""相同""一致"含义的词语。这些词汇往往就是等量关系的"信号灯"。

举个例子：甲乙两地相距120公里，一辆汽车从甲地出发，每小时行驶40公里；另一辆汽车从乙地出发，每小时行驶20公里。问几小时后两车相遇？

这道题里，"相遇"就是一个关键词。相遇意味着什么？意味着两车行驶的路程之和等于甲乙两地的总距离。这就是最核心的等量关系。很多学生看到"相遇"就想套公式，却忽略了"相遇"这个动作本身就是对等量关系的描述。

再比如：一件衣服原价200元，打折后售价为150元，问折扣是多少？这道题里虽然没有直接的"等于"，但"折扣"这个概念本身就定义了一种等量关系——折扣=现价÷原价。学生如果能意识到这一点，解题就变得轻而易举了。

第二种：公式推导法

当题目涉及我们熟悉的公式模型时，等量关系往往就藏在公式里。这类方法需要学生对基本公式有扎实的理解，能够根据题目条件灵活选用公式。

初中阶段常用的公式模型可以分为几大类：

使用公式推导法的关键在于，先确定题目属于哪种类型，再回忆对应的公式，最后看题目给出了哪些量，要求哪个量。这个顺序不能乱。很多学生的问题是倒过来——先看要求什么量，再想用什么公式，完全跳过了分析题目类型这一步，结果就是生搬硬套，解题效率极低。

我在辅导学生时，经常让他们做一种"逆向练习"：给出一个公式，让他们自己编一道应用题。这样做的目的是让学生体会公式和实际情境之间的联系，理解公式不是凭空出现的，而是对现实规律的数学表达。

第三种：设未知数寻找等量法

这是我在一对一辅导中用得最多的方法，也是相对高级的方法。它的核心思想是：设出未知数，利用它把题目中的各个量联系起来，从而找到等量关系。

这种方法的好处是，它把"找等量关系"变成了"构造等量关系"。当学生无法直接看出等量关系时，可以先把一个量设为未知数，然后根据题目条件，用这个未知数表示其他相关量。表示着表示着，等量关系可能就自己"蹦"出来了。

举个例子：一项工程，甲队单独做需要10天完成，乙队单独做需要15天完成。现在两队合作，需要多少天完成？

如果直接让学生找等量关系，他们可能会说"两队合作的工作效率等于甲队效率加乙队效率"，但这还不够，因为题目问的是时间。这时候，设未知数就派上用场了。

设合作天数为x天。那么甲队完成的工作量是(1/10)x，乙队完成的工作量是(1/15)x。由于两队合作完成了整个工程，所以(1/10)x + (1/15)x = 1。这个等式是哪来的？就是从"工作量之和等于总工作量"这个关系来的。设未知数帮助我们把隐性的关系显性化了。

那些年，学生最容易踩的"坑"

教了这么多年书，我发现学生在找等量关系时，有几个坑是反复出现的。提前了解这些坑，至少能帮学生少走一半弯路。

第一个坑：被"多余条件"迷惑。应用题有时候会给一些看似有用、实则无关的条件，目的是考查学生的信息筛选能力。比如：一批货物，甲车单独运需要6小时，乙车单独运需要8小时，丙车单独运需要12小时。现在甲乙两车合作运了2小时后，丙车加入，问还需要多少小时运完？这道题里，"丙车单独运需要12小时"这个条件其实是多余的，因为丙车加入时，甲乙已经合作了一段时间。但很多学生会把这个条件也考虑进去，导致列式错误。

第二个坑：混淆"比"和"等于"。题目中说"甲是乙的2倍"，这是一个倍数关系，但学生容易把它直接当作等量关系来列式。实际上，"甲是乙的2倍"要转化为等量关系，应该是"甲 = 2 × 乙"。同样的道理，"A比B多3"应该转化为"A = B + 3"，而不是"A - B = 3"（后者虽然也是等式，但形式不同，解题时的用法也不一样）。

第三个坑：忽略"同一量"原则。在找等量关系时，必须保证等式两边的量是"同一类""同一状态"的。比如，在求平均速度时，学生经常把"去时速度"和"回时速度"直接加起来求平均，这是错误的。因为平均速度 = 总路程 ÷ 总时间，而总路程和总时间都必须是两段路程（时间）的总和，不能简单地速度相加再平均。

一对一辅导中的实战策略

说了这么多方法，最后我想聊聊在实际辅导中，我是怎样把这些方法教给学生的。毕竟，知道方法和会使用方法之间，还隔着一个"刻意练习"的过程。

每次上新课之前，我会让学生先把题目读三遍。第一遍正常读，了解大概意思；第二遍逐句读，圈出关键数据；第三遍带着问题读，明确要求什么。这三遍读下来，学生对题目的理解已经深入了不少。然后，我会让学生用自己的话复述题目，确保他真的理解了题意，而不是仅仅认识了汉字。

在找等量关系的环节，我通常会让学生先自己思考两到三分钟。这时候，不管他给出的答案多么离谱，我都不会直接否定。我会问："你是怎么想的？""如果按照这个等量关系往下做，会得出什么结果？"通过对话，让学生自己发现思维中的漏洞。这个过程比直接告诉他"你错了"要有用得多。

对于基础薄弱的学生，我会准备一些"等量关系专项训练"的题目。这些题目的特点是：题目简短，信息量小，专门训练识别某种特定的等量关系。比如，专门练习"速度×时间=路程"的题目，或者专门练习"溶质=溶液×浓度"的题目。把复杂的问题分解成多个简单的专项训练，学生的进步会更明显。

对了，还有一个技巧是让学生"说题"。就是让学生把解题思路口述出来，从读题开始，到找等量关系，到列式计算，每一步都说清楚。当学生能够把这些用嘴巴说出来，说明他是真的理解了。如果说到某一步卡住了，那这个地方就是他需要加强的地方。

写在最后

回头看这篇文章，从关键词定位到公式推导，再到设未知数，方法其实并不新鲜。但我想强调的是，方法只是工具，真正重要的是学生理解这些方法背后的逻辑——为什么要找等量关系？等量关系本质上是把现实问题转化为数学问题的桥梁。会找等量关系，就是会"翻译"现实。

在金博教育的这些年，我接触过各种类型的学生。有的孩子天生对数字敏感，有的孩子需要更多时间来消化概念。但不管哪种类型，当他们真正学会自己找到等量关系的那一刻，眼睛里都是有光的。那种"我懂了"的喜悦，是学习中最珍贵的体验。

如果你正在为应用题发愁，不妨从今天开始，尝试用文章里提到的方法练习几道题。找等量关系这件事，没有捷径，但真的有方法。希望这篇文章能对你有所帮助。