初三数学一对一补课：二次函数图像平移规律那些事儿

说起二次函数，很多初三同学的头就开始大了。特别是图像平移这块儿，感觉公式记了一堆，题目换个样子就不会做了。这篇文章我想跟大伙儿聊聊二次函数图像平移的规律，怎么从"看不懂"到"做得出"。

先说句实话，二次函数图像平移这块内容，说难不难，但确实需要点耐心。我带过不少学生，一对一补课的时候发现，很多人卡壳不是脑子笨，而是没人把这个逻辑给讲透。今天咱就试试用最土的话，把这事儿说清楚。

一、二次函数的基本面貌，你得先认识

在聊平移之前，咱们得先搞清楚二次函数长啥样。二次函数的标准形式是 y = ax² + bx + c，这里a、b、c都是常数，a不能等于零。为啥a不能为零？因为a等于零那就变成一次函数了，不叫二次函数了。

二次函数的图像是一条抛物线，这是初中数学里最重要的曲线之一。抛物线有几个关键特征：

• 开口方向：a大于零的时候，抛物线开口向上，像个"U"；a小于零的时候，开口向下，倒过来的"U"
• 顶点：抛物线的最高点或最低点，数学上叫顶点，坐标是(-b/2a, 4ac-b²/4a)
• 对称轴：一条垂直的直线x = -b/2a，抛物线关于这条轴对称
• 与y轴交点：当x=0时，y=c，所以抛物线一定经过(0,c)这个点

这些知识点，一对一补课的时候我会让学生先理解透。因为平移的问题，本质上是顶点位置和对称轴位置的变化。你把顶点想象成抛物线的"心脏"，心脏动位置变了，整个抛物线就跟着跑。

二、垂直平移：向上还是向下，这是一个问题

先讲最简单的——垂直方向的平移。啥叫垂直平移？就是图像往上跑或者往下跑，左右位置不变。

举个例子。y = x² 这个函数，图像大家都见过，顶点在原点(0,0)。现在变成 y = x² + 2，图像会怎么变？

你可以在脑子里想象一下：原来抛物线所有点的y坐标都加了2，那可不就得整体往上挪吗？顶点从(0,0)跑到了(0,2)。对，就是这么简单。

再试一个：y = x² - 3。顶点跑到哪儿了？(0,-3)。整个图像往下挪了3个单位。

所以垂直平移的规律来了：

那如果是 y = ax² + bx + c 呢？垂直平移看的是c吗？等一下，这里容易搞错。

实际上，二次函数写成顶点式更清楚：y = a(x-h)² + k。这里(h,k)就是顶点。那垂直平移就是改变k的值。k变大，图像整体上移；k变小，图像整体下移。

我在一对一补课的时候经常让学生这样记：上加下减。注意啊，这个"加减"是加在整个式子后面的。比如 y = 2x² + 3，那就是把 y = 2x² 这个图像往上挪3个单位。顶点从(0,0)变成(0,3)，开口方向还是向上，因为a=2大于零。

三、水平平移：向左还是向右，别搞反了

水平平移比垂直的稍微绕一点，因为方向容易搞反。

还是从最简单的 y = x² 说起。现在变成 y = (x-2)²，图像怎么变？

这里好多人会想当然：x减2，那图像应该往左挪吧？错！大错特错。

正确的理解是这样：原来x=0的时候y=0，现在要让y=0，得让x-2=0，也就是x=2。所以原来的点(0,0)跑到了(2,0)。顶点从(0,0)平移到了(2,0)，图像整体往右挪了2个单位。

记住这个规律：

• y = (x-h)²，h大于0，图像向右平移h个单位
• y = (x+h)²，h大于0，图像向左平移h个单位

是不是有点反直觉？我刚开始学的时候也晕。后来我想了个办法记：括号里是"x减谁就向谁那边跑"。比如(x-3)，就是向x=3那边跑，也就是向右。

再验证一下。y = (x+1)² = (x-(-1))²，h=-1，所以图像向左平移1个单位。对的，顶点从(0,0)跑到(-1,0)。

那如果是 y = a(x-h)² + k 这种顶点式呢？水平平移只跟h有关，h正右移，h负左移。垂直平移只看k，k正上移，k负下移。

一对一补课的时候，我会让学生做个表对比一下：

四、复合平移：上下左右一起动怎么办

真正的题目里，图像往往是上下左右都在动。这时候怎么办？

别慌，拆开看就行。顶点式 y = a(x-h)² + k 就是一个好工具。

举个例子：把 y = x² 变成 y = 2(x-3)² + 4，怎么平移的？

第一步：y = x² 变成 y = 2x²，这是开口变窄了，不算平移，是形状变化。

第二步：从 y = 2x² 到 y = 2(x-3)²，这是向右平移3个单位。

第三步：从 y = 2(x-3)² 到 y = 2(x-3)² + 4，这是向上平移4个单位。

所以整个图像是先把顶点从(0,0)移到(3,0)，再移到(3,4)。

再复杂点：从 y = 2x² 变成 y = 2(x+2)² - 5。向左平移2个单位（因为x+2 = x-(-2)），再向下平移5个单位。顶点从(0,0)到(-2,0)再到(-2,-5)。

关键的一点：水平平移和垂直平移是各自独立的，谁也不影响谁。你可以先左右动再上下动，也可以先上下动再左右动，结果一样。

五、从一般式找顶点，这些公式要记牢

有时候题目给的不是顶点式，是一般式 y = ax² + bx + c。那怎么快速知道顶点位置？

这里有几个公式，一对一补课的时候我会让学生记下来：

• 对称轴：x = -b/(2a)
• 顶点横坐标：h = -b/(2a)
• 顶点纵坐标：k = (4ac-b²)/(4a)，或者代入横坐标算

举个例子。y = 2x² - 4x + 1，a=2，b=-4，c=1。

对称轴 x = -(-4)/(2×2) = 4/4 = 1。

顶点 y 坐标：代入 x=1，y = 2(1)² - 4(1) + 1 = 2 - 4 + 1 = -1。所以顶点是(1,-1)。

用公式算：k = (4×2×1 - (-4)²)/(4×2) = (8 - 16)/8 = (-8)/8 = -1。结果一样。

考试的时候，如果遇到平移问题，用一般式算出顶点，然后对比平移前后的顶点坐标变化，就能知道是怎么平移的。

六、常见错误盘点，看看你中招没

教了这么多年书，我发现学生在二次函数平移这块有几个典型的错误：

错误一：搞反左右方向。比如把 y = (x-2)² 理解成向左平移2个单位。这是初学者最容易犯的错。记住：括号里x减谁，图像就往谁那边跑。减2就是往右跑。

错误二：把一般式的c当成顶点纵坐标。有人一看 y = ax² + bx + c，就觉得顶点y坐标是c。那可差远了，c只是y轴交点。顶点纵坐标要通过公式算或者配方。

错误三：平移和对称变换搞混。比如 y = -x² 有人以为是 y = x² 往下平移1个单位，其实不是，这是开口方向变了，是关于x轴的对称变换，不是平移。平移是不改变形状的，只是位置移动。

错误四：配方配错。从一般式变顶点式的时候，配方法用错，后面的全错。这块多练练，配方法本身不难，就是容易马虎出错。

七、怎么做题才能稳准狠

掌握了规律，下一步就是做题。二次函数平移的题目类型大概有这几类：

第一类：给原函数和平移后的函数，判断怎么平移的。这类题技巧在于对比顶点坐标。比如原函数顶点(0,0)，新函数顶点(2,3)，那就知道向右平移2个、向上平移3个。

第二类：给平移方式，求平移后的函数解析式。这类题记住一点：左右平移改x，上下平移改整个式子。比如 y = x² 向左平移3个、再向上平移4个，结果是 y = (x+3)² + 4。

第三类：给图像信息，写解析式。这类题需要读图，找到顶点坐标和另一个点，代入顶点式求a的值。

一对一补课的时候，我会根据学生的薄弱点专项训练。有的人公式记不住，就多做计算；有的人方向搞反，就多画草图；有的人看图像看不出顶点，就先从简单题型入手，逐步提升难度。

八、写在最后

二次函数图像平移这章内容，看起来公式多、容易晕，但核心思想很简单：抓住顶点，一切都好办。

顶点的位置决定了抛物线的位置，顶点怎么变，图像就怎么变。水平平移改的是顶点x坐标，垂直平移改的是顶点y坐标。把这层关系理清楚了，再多的变化也逃不出这个圈。

学习这东西，急不得。我见过不少学生，今天觉得难，过两周再看发现也没那么可怕。关键是要真的理解了，不是死记硬背。公式可以忘，逻辑理解了就忘不了。

如果你在二次函数这块还有困惑，不妨找个安静的时间，把这篇文章从头到尾看一遍，然后找几道题练练手。金博教育那边的一对一辅导，老师会针对你的具体情况设计练习，比自己闷头刷题效率高得多。有问题及时问，别攒着，攒着攒着就成大问题了。

学习数学这件事，从来没有什么捷径，但有方法。找到对的方法，剩下的就是时间和练习。祝你在接下来的学习和考试中，顺顺利利！