小学六年级数学一对一辅导：比例缩放应用题解法

记得上周有个六年级的学生小明愁眉苦脸地拿着一道题来找我，说："老师，这道题我看不懂，什么比例什么缩放的，绕来绕去我就晕了。"我一看，是一道典型的比例缩放应用题。其实啊，比例缩放这个知识点，看起来有点抽象，但它跟我们的日常生活息息相关。今天我就把这个解题方法掰开揉碎了讲讲，希望能帮助更多像小明一样的同学。

生活中的比例缩放：其实你早就见过

在说解题方法之前，我想先给大家举个例子。放假的时候，不少同学都会跟着爸爸妈妈去旅游对吧？我们买的那张地图，就是比例缩放最典型的应用。假设地图上标注着"1:10000"，这个数是什么意思呢？就是说地图上的1厘米，代表着现实生活中10000厘米的距离。换算一下，100米就是10000厘米，所以地图上的1厘米实际上就是100米的实际距离。

再比如，很多同学喜欢玩模型玩具。高达模型、汽车模型，上面都会标着一个比例，像1:144、1:72这些。你知道这意味着什么吗？1:144就是指模型的大小是真实物体的144分之一。如果一辆真车长4米，那么1:144的模型长度就是4米除以144，大约2.8厘米的样子。这么一算，是不是觉得数学突然变得有意思起来了？

还有一种情况大家肯定遇到过。画画的时候，你想把一幅画放大或者缩小，这时候也要用到比例。如果原图宽10厘米，你想放大成15厘米，那么放大比例就是15:10，也就是3:2。这个3:2就是缩放比例，掌握了它，你就能准确地放大或缩小任何图形。

比例缩放到底在考什么？

说到这儿，有些同学可能要问了：比例缩放的应用题到底在考我们什么？说实话，这类型题目主要考查的是你对"两个量之间的关系"理解得透不透。

六年级数学中的比例缩放，通常会涉及到这么几个方面。首先是图形的放大与缩小，这个相对直观，看看边长、周长、面积的变化就行。其次是按比例分配，比如把一个数按照一定的比例分成几份。第三是成正比和成反比的关系，这个是重点也是难点。第四就是与生活相关的各种缩放问题，比如地图、模型、图纸这些。

我辅导过的学生里面，有一半以上刚接触这类题的时候都会懵。主要原因是什么呢？主要是他们没搞懂"比例"到底是谁跟谁的比例，分子分母对应的是什么。一旦这个关系理清楚了，后面的计算反而简单了。

核心解题方法：费曼学习法来支招

说到解题方法，我想借用一下费曼学习法的思路。费曼是诺贝尔物理学奖得主，他有一个很厉害的学习技巧，就是用最简单的话把一个概念讲给完全不懂的人听，如果对方能听懂，说明你真的学会了。那我们就用这个思路来拆解比例缩放应用题的解法。

第一步：读题时画圈圈，找出"谁是谁的几分之几"。

拿到一道比例缩放的应用题，第一件事不是急着列式子，而是仔细读题，把题目中出现的两个量用笔圈出来。比如题目说"把一个长方形按3:2的比例放大"，那你就要圈出"长方形"和"3:2"。如果题目说"图上距离是实际距离的万分之一"，那就要圈出"图上距离"和"实际距离"这两个概念。

这个步骤看起来简单，但很多同学会跳过它，直接凭感觉列式子，结果往往列错式子。我常跟学生说，数学题读题慢一点，分析透一点，比你稀里糊涂做十道题都强。

第二步：确定比例的顺序，别搞反了分子分母。

这是最最容易出错的地方！比例是有顺序的，3:2和2:3完全不一样。题目说"按3:2放大"，意味着新图形是原图形的1.5倍；如果说"按2:3放大"，那新图形反而是原图形的三分之二左右，变小了。

我给学生讲过一个小技巧：比例的前项代表"新的"或者"图上的"那一方，后项代表"原来的"或者"实际的那一方"。当然这不是绝对的，要根据题目表述来判断。最保险的方法是看题目怎么说的："A是B的几分之几"还是"B是A的几分之几"，这个语序很关键。

第三步：找出对应的量，建立等式。

比例缩放的应用题，核心就是找到两个对应的量，让它们组成比例。比如原图形的一条边长是a厘米，放大后变成b厘米，那么a和b应该满足题目给的比例关系。如果原图形周长是C，放大后变成C'，那C和C'也满足同样的比例关系。

这里有个很重要但是经常被忽视的点：比例缩放中，所有的长度相关量都按同一个比例变化，但是面积是按比例的平方变化。比如一个正方形边长放大2倍，周长也放大2倍，但是面积会放大4倍。这个知识点经常在考题中出现，同学们一定要记住。

第四步：解比例，求未知数。

比例本质上就是一个等式，可以用交叉相乘的方法来解。比如已知a:b = 3:2，求a是多少。交叉相乘就是2a = 3b，所以a = 3b÷2。如果遇到复杂的比例，比如(a+b):b = 5:3，那解起来稍微麻烦一点，但核心方法是一样的。

我在辅导学生的时候发现，很多同学怕解比例，觉得很复杂。其实比例方程跟普通方程没什么区别，你就把比例看成等式，该怎么移项就怎么移，该怎么计算就怎么计算。不要被那个"比例"的名头吓到了。

常见题型逐个击破

为了让大家更清楚地了解比例缩放应用题的套路，我整理了几种最常见的题型，给大家详细分析一下。

题型一：图形放大缩小问题。

这类题目通常会给出原图形的尺寸，然后说按某个比例放大或缩小，让你求新图形的尺寸，或者反过来求原图形的尺寸。比如："把一个长5厘米、宽3厘米的长方形按2:1的比例放大，放大后的长方形周长和面积各是多少？"

解题思路是这样的：首先，比例2:1意味着所有长度都乘以2，所以新长方形长10厘米，宽6厘米。周长就是(10+6)×2=32厘米，面积就是10×6=60平方厘米。面积这块要注意，5×3=15平方厘米，放大2倍后面积应该是15×2×2=60平方厘米，对得上，说明没问题。

题型二：按比例分配问题。

这种题目说的是把一个总量按照一定的比例分成几份。比如："把180个苹果按3:2:1的比例分给甲、乙、丙三个人，每个人分多少个？"

这类型的题目有个固定的解法：先求总份数，3+2+1=6份，然后用总量除以总份数得到每份的数量，最后乘以每个人对应的份数。所以甲分到180÷6×3=90个，乙分到180÷6×2=60个，丙分到180÷6×1=30个。加起来90+60+30=180，刚好对得上。

题型三：成正比关系问题。

这类题目是说两个量成正比，意思是一个量变大，另一个也按相同比例变大。比如："买4本笔记本花了12元，买同样的笔记本10本要花多少钱？"

这个明显是正比例关系，笔记本数量和总价成正比。解法可以是先求出一本笔记本的价钱：12÷4=3元，然后10本就是3×10=30元。也可以用比例的方法：4:10=12:x，交叉相乘得4x=120，x=30。结果一样。

题型四：成反比关系问题。

反比例就是一个量变大，另一个反而变小，而且乘积不变。比如："一项工程，6个人做需要10天完成，如果增加到15个人，需要几天完成？"

这里人数和天数成反比，人越多天数越少。解法是：6×10=15×x，所以x=60÷15=4天。为什么乘积不变呢？因为总工作量是固定的，6个人做10天，总工作量就是60个人天的活。15个人来做，还是60个人天的活，所以需要4天。

那些年同学们踩过的"坑"

教了这么多年数学，我发现学生在比例缩放这块有几个坑几乎是必踩的。把这些易错点记在心里，考试的时候能少扣很多分。

第一个坑就是比例顺序搞反。比如题目说"实际距离是图上距离的10000倍"，有些同学会写成1:10000，而实际上应该写成10000:1。这个真的特别冤，题目看错了，整道题就错了。我建议大家读题的时候把"是"字两边的东西搞清楚，谁是谁的几倍，"是"字前面的那个量是分子，后面的那个量是分母。

第二个坑是面积和长度搞混。图形放大2倍，同学知道长度乘以2，但面积也只乘以2。实际上面积应该乘以4，这个错我每年都要纠正几十次。记忆方法很简单：面积是长乘以宽，两个长度都放大2倍，所以面积放大2×2=4倍。

第三个坑是单位不统一。比如长度给的是厘米，比例给的是米，学生直接就拿来算，结果错得离谱。一定要先把单位统一了再计算，千米和米之间的换算，厘米和毫米之间的换算，都要搞清楚了再做。

第四个坑是找错对应的量。比如一道题给了原长方形的长和宽，然后说按某个比例放大，让你求新长方形的面积。有些同学会用原面积乘以比例，而不是用原长乘以比例再乘以原宽乘以比例。这样算出来的结果对不上，因为面积变化是比例的平方。

给家长和同学的学习建议

在金博教育做一对一辅导这么多年，我发现有时候孩子学不好比例缩放，不是因为笨，而是因为学习方法不对头。这里我分享几个亲测有效的方法。

首先，一定要让孩子动手画一画。特别是图形放大缩小的题目，在纸上画出来，比在脑子里空想要直观得多。你看原图形是什么样，放大后又是什么样，边长变了多少，周长变了多少，面积变了多少，画一画一目了然。而且自己动手画过一遍，印象特别深刻，比听十遍讲解都管用。

其次，学会用表格来整理信息。比例应用题通常会有两个甚至三个相关的量，把它们列成表格，横行是各种量，纵列是原数值和新数值，这样谁对应谁一眼就能看清楚。比如速度、时间、路程这三个量，把它们做成表格，很多问题就迎刃而解了。

第三，多联系生活实际。前面说的地图、模型这些都是很好的素材。周末出去旅游的时候，让孩子自己算算地图上两个地点之间的实际距离是多少；买模型玩具的时候，让孩子根据比例算算真实物体应该是多大。这样学数学，孩子不会觉得枯燥，因为这些都是真实存在的、能看到摸到的东西。

第四，错了不要紧，关键是搞懂为什么错。我经常跟学生说，做错题是你的财富，因为你发现自己哪里没掌握。准备一个错题本，把比例缩放的错题都抄下来，分析一下到底哪里错了，是比例写反了？还是单位没统一？还是面积算错了？下次遇到类似的题目想一想之前是怎么错的，提醒自己注意，这就叫"吃一堑长一智"。

写在最后

比例缩放这个知识点，说难不难，说简单也不简单。关键在于理解"比例"这个概念的本质——它描述的是两个量之间的一种对应关系。只要把这种对应关系搞清楚了，不管是放大缩小还是分配问题，不管是正比例还是反比例，都难不倒你。

学习数学就像盖房子，比例缩放就是其中的一块砖。这块砖没砌稳，后面学更复杂的知识可能就会摇摇晃晃。所以趁现在六年级，打好这个基础，以后学代数、函数都会轻松很多。

如果你或者你的孩子在学习比例缩放的时候遇到了困难，不妨换个方式想想，把它和生活中的事情联系起来。地图、模型、画画、烹饪，这些里面都有比例的影子。当你发现数学不是抽象的数字游戏，而是实实在在能用来解决问题的时候，学起来就有意思多了。

希望今天的分享对你有帮助。学习这件事，急不得，慢慢来，一步一个脚印，你一定可以的。