中考数学一对一辅导：因式分解提公因式法的那些门道

说起中考数学，因式分解绝对是绕不开的一座山。这块内容说难不难，说简单也不简单，很多同学在这儿栽过跟头。作为一名带了多年毕业班的老师，我发现一个有趣的现象：有些孩子方程函数学得挺好，一遇到因式分解就懵圈。反过来，也有孩子计算题经常出错，但因式分解却玩得挺转。这玩意儿好像有点"看人下菜"的意思。

今天咱们就来聊聊因式分解最基础也最常用的方法——提公因式法。这名字听着挺学术，其实说白了就是"找共同点"的过程。你想啊，一堆数字或式子摆在那儿，总有几个是大家伙都有的，咱把它拎出来，后面的事儿就简单了。

先搞明白：啥是因式分解？

在正式讲方法之前，咱们得先把概念搞清楚。要不然稀里糊涂地练，最后也是稀里糊涂地错。

因式分解，说人话就是把一个复杂的代数式变成几个简单代数式的乘积。比如12这个数，你可以拆成3×4，也可以拆成2×6，还可以拆成1×12。但数学上咱们通常取最"有用"的拆法，比如质因数分解那种。同样的道理，代数式也是这个逻辑——把它拆成几个因式相乘的形式。

你可能要问了，好好的式子拆它干嘛？用处可大了。后边咱们要学解方程、分式运算、求值问题，处处都得用到因式分解。可以这么说，因式分解就是数学里的"基本功"，像学武术先扎马步一样，这关过不了，后边学啥都费劲。

那什么时候用因式分解呢？举个例子，解方程x²-5x+6=0的时候，你要是能把它变成(x-2)(x-3)=0，那解立刻就出来了——x等于2或者3。不用因式分解的话，你就得用求根公式，麻烦不说，还容易算错。再比如分式化简，分子分母有公因式的话，约分一下立刻清爽许多。

提公因式法：核心就三个字——找公因式

好，概念说清楚了，咱们进入正题。提公因式法是因式分解最基础的方法，也是考试里考得最多的方法。它的操作步骤其实就三步：第一步找公因式，第二步提出来，第三步写剩下的部分。听起来简单，但真正做起题来，很多同学卡在第一步——找不着公因式。

那公因式到底怎么找？别急，咱们慢慢说。

系数部分的找法

先看系数。系数就是式子前面的数字。比如4a和6a，系数分别是4和6。找系数的公因式，其实就是找它们的最大公约数。4和6的最大公约数是2，所以系数部分可以提出一个2来。

我再举几个例子巩固一下。8和12的最大公约数是4，15和25的最大公约数是5，9和27的最大公约数是9。这个技能小学就学过，应该不难。如果遇到三个或更多项怎么办？比如3x、6y、9z，那就找3、6、9的最大公约数——3，一起提出来。

还有一种特殊情况，系数互质怎么办？比如5a和3b，5和3的最大公约数是1，那系数部分就提1。说白了，就是系数没有共同的因数可提，系数这块就"空着"。

字母部分的找法

系数说完说字母。这部分很多同学容易晕乎，因为涉及到指数的问题。

基本原则是这样的：找各个项都含有的字母，而且取它的最低次幂。听起来有点绕，咱们看例子就明白了。比如2a²b和3a³b²这两个式子，都有的字母是a和b。a的最低次幂是a²（因为2<3>

再复杂一点，四个项：x²y、xy²、x³y³、x⁴。都有x，取最低次幂x¹；都有y吗？x⁴没有y，所以y不能进公因式。最终公因式只有x。

这里有个坑很多同学会踩：看漏项。比如a³b和a²c，都有a，但b和c不一样。这时候公因式只能是a，不能把b或c算进去。我改卷子的时候经常看到这种错误，特别可惜。

整体法和分解法

有些式子看着没有公因式，其实是因为它藏起来了。这时候需要用"整体法"或者先"拆开"再找。

整体法举个例子。式子是m(a+b)+n(a+b)，看着挺吓人，但其实(a+b)这个东西在两项里都出现了。咱们可以把(a+b)看成一个整体，当作一个字母来处理。于是公因式就是(a+b)，提出来之后变成(a+b)(m+n)。

还有一种情况需要先分解。比如4x²-9y²，这是平方差公式，但如果你没学过公式能不能做？可以尝试拆成(2x)²-(3y)²，然后发现都是平方数。不过这种属于比较进阶的应用了，初学阶段咱们还是先把基础打牢。

实操演练：手把手教你提公因式

光学不练假把式。下面咱们来几道真题，边做边讲。

第四道题值得多说几句。很多同学做到这儿可能会写成5(a+b)m - 10n(a+b)，然后愣住了，不知道怎么继续。这时候你要意识到，(a+b)在两项里都出现了，它就是公因式的一部分。先把(a+b)提出来，剩下的就是5m和-10n，它们还能再提出一个5来。最终结果就是5(a+b)(m-2n)。

我再强调一个细节：提公因式之后，括号里的式子要化简到最简状态。比如最后一道题，5m-10n还可以再提5，变成5(m-2n)，所以最终答案要写成5(a+b)(m-2n)，不能写成5(a+b)(5m-10n)，那等于没提干净。

高频陷阱：这几个坑千万别踩

教了这么多年书，我总结了几个学生最容易出错的地方。把这几个坑避开了，你的因式分解至少能多拿一半的分。

符号问题

这是天下第一大坑。不信你看看：-3x+6y，很多同学会写成-3(x-2y)，对吗？等会儿，-3乘以x是-3x，对的；-3乘以-2y是+6y，也对的。但如果你写成-3(x+2y)，那就变成-3x-6y，符号错了。

记住一个口诀：提负号的时候，括号里要变号。比如-3x+6y=-3(x-2y)，因为x前边的符号从正变负，6y前边本来是正号，提出去之后变成-2y，负负得正就是+6y。如果还有疑惑，就在心里默念：括号里每一项都要变号。

漏项问题

有些同学提公因式提得很开心，提完之后括号里少写一项。比如x³+ x² + x，提公因式x之后，应该写成x(x² + x + 1)，但有些同学写成x(x² + x)，把最后那个+1漏了。这属于典型的粗心，考试里丢分最可惜。

检查方法很简单：把提出来的公因式乘回括号里的式子，看看能不能还原成原来的式子。能还原就对，还原不了就说明有问题。

指数看走眼

比如a³b²和a²b³，公因式是a²b¹，不是a³b³，也不是a²b²。很多同学在指数上犯迷糊，要么取了最高次幂（不对），要么取了不对的组合。

再强调一次原则：取每个字母的最低次幂。最低次幂就是幂指数最小的那个。3和2比，2小；1和3比，1小。别搞反了。

整体遗漏

像刚才讲的m(a+b)+n(a+b)这种式子，有些同学看不出来(a+b)是个整体。他们会把a和b分开看，找公因式a或b，结果怎么也找不对。

解决办法是：做题之前先观察整个式子的结构，看看有没有重复出现的"块"。这种块可能是一个括号括起来的式子，也可能是一个整体。发现了就把它当做一个字母来处理。

进阶技巧：让解题快人一步

基础题会做了，咱们来点提速的技巧。这些技巧不能让你从不会变会，但能让你从会了变精通，考试省下宝贵时间。

分组分解法

当一个式子直接找不着公因式的时候，可以试试先分组。比如4x+8y+3a+6b，看着八竿子打不着。但你仔细看，4x+8y可以提4，变成4(x+2y)；3a+6b可以提3，变成3(a+2b)。虽然x+2y和a+2b不完全一样，但"2y"和"+2b"这个结构是相似的。接下来如果你学过其他方法，还可以继续处理。不过分组分解更多时候是为其他方法服务的，咱们点到为止。

换元思想

遇到复杂的长式子，可以试试把重复的部分用一个字母代替。比如(x+y)²+2(x+y)+1，令t=x+y，原式变成t²+2t+1=(t+1)²，再换回来就是(x+y+1)²。换元法在处理复杂式子时特别管用，能把一团乱麻理清楚。

主元法

有时候一个式子有好几个字母，不知道把谁当主角。这时候可以选一个字母作为"主元"，其他的当系数。比如处理关于x的多项式时，把y和z当成数字系数来看待。这种思维方式对后边学二次函数也很有帮助。

学习建议：怎么练才有效

方法说再多，不如练到位。因式分解这东西，靠的是肌肉记忆——看到式子，公因式自然而然就出来了。那这个"自然而然"怎么练出来？

首先，基础题要反复练。我建议每天花15到20分钟，专门练提公因式。不用做多，每天十道八道就行，关键是保持手感。做的多了，你一眼就能看出公因式是什么，根本不需要一步步推理。

其次，错题本一定要有。把每次做错的因式分解题整理下来，注明错在哪里，是符号错了还是漏项了，定期翻一翻。人其实很容易在同一个地方摔两次跤，错题本就是帮你长记性的。

最后，要学会给自己出题。学到一定程度，你可以尝试自己编几道因式分解的题目，然后自己做。这比做别人的题更有用，因为你能把握其中的规律，知道哪里容易设置陷阱。

学习这件事，没有捷径，但有方法。找到对的方法，剩下的就是坚持。

写在最后

因式分解是数学里特别基础又特别重要的一块内容。它就像学汉字的笔画顺序，看起来简单，但决定了你后边能不能写得漂亮、学得顺畅。

提公因式法是因式分解的起点，也是你后续学习平方差公式、完全平方公式、十字相乘法的基础。这些方法一环扣一环，哪一环断了，后边都受影响。所以趁着现在时间还充裕，把基础打牢，别给自己留窟窿。

如果在学习过程中遇到什么困惑，欢迎来金博教育和老师们聊聊。有时候自己琢磨半天的问题，老师点一下就通了。学习嘛，有时候就需要这么一个人帮你捅破那层窗户纸。

祝你学习顺利，中考取得好成绩！