数列通项公式怎么求？这几个方法其实没那么难

记得我当年学数列的时候，老师在黑板上写了一串数字：2, 4, 8, 16, 32……然后问我们下一个数是什么。我同桌脱口而出"64"，老师笑着点头。那时候我就想，这不就是找规律嘛，有什么难的。可后来学到更复杂的数列，我才发现事情没那么简单。有的数列长得奇奇怪怪，乍一看根本找不到规律，这时候就得用上一些"套路"了。

在高中数学里，数列绝对是个重头戏。无论是高考还是平时的考试，数列的题目总是占着不小的分值。而求解数列的通项公式，往往是解题的第一步也是最关键的一步。今天咱们就聊聊，金博教育的老师们在辅导学生时，常用的几种求通项公式的方法。我尽量用大白话讲清楚，让你能真正理解，而不是死记硬背。

先搞懂：什么是数列通项公式？

在说方法之前，我们先确认一下基本概念。数列其实就是一串有顺序的数，像1, 2, 3, 4……这样排下去。通项公式呢，就是一个用n表示的式子，n代表这个数在数列中的位置。比如第一个数是n=1，第二个数是n=2，以此类推。通项公式一旦写出来，不管数列多长，你都能算出任何一个位置上的数。

举个例子，等差数列1, 3, 5, 7, 9……它的通项公式是aₙ = 2n-1。当你把n=1代入，得到2×1-1=1，就是第一项；n=2时得到3，是第二项；n=5时得到9，是第五项。是不是很神奇？就这一个式子，管了一整个数列。

不过呢，不是所有数列都这么好对付。有的数列从表面看没什么规律，这时候就需要我们掌握一些方法和技巧。接下来我就分门别类地介绍几种常见的求通项公式的方法。

方法一：观察归纳法——找规律最直接

这是最基础也最直观的方法，适用于那些"长得规律"的数列。什么叫长得规律？就是相邻两项之间有明显的倍数关系、差值关系，或者各项有相同的构成规律。

比如这样一个数列：1, 4, 9, 16, 25……你看出规律了吗？1是1的平方，4是2的平方，9是3的平方，16是4的平方，25是5的平方。那通项公式自然就是aₙ = n²。像这种完全平方数组成的数列，用眼睛看就能看出来。

再比如：1, 2, 4, 8, 16……这明显是2的幂次，aₙ = 2ⁿ⁻¹，第一项是2的0次方，第二项是2的1次方，以此类推。

还有一种常见的情况是分子分母有规律。比如：1/1, 2/2, 3/3, 4/4……通项就是aₙ = n/n = 1，简单得有点可爱。再比如1/2, 2/3, 3/4, 4/5……分子是n，分母是n+1，所以aₙ = n/(n+1)。

观察归纳法的关键在于多看几项，找出项与项之间的联系。有时候规律可能藏在差值里，可能藏在比值里，也可能藏在各项的构成方式里。金博教育的老师通常会让学生先别急着列式子，把数列多读几遍，感受一下它的"气质"，往往灵感就来了。

方法二：等差数列公式法——差相等就用它

等差数列是高中数列里最"规矩"的一种。它的特点是相邻两项的差相等，这个相等的差叫做公差，通常用d表示。

比如3, 7, 11, 15, 19……后一项减前一项都是4，所以d=4。首项a₁=3。等差数列的通项公式是：

就这么简单。记住这个公式，等差数列的题目基本就解决了一大半。不过要注意，等差数列的公差d可以是负数。比如10, 7, 4, 1, -2……公差d=-3，这时候数列是递减的，但公式照样适用。

有些数列表面上看不是等差数列，但稍作变形之后就变成了等差数列。这时候我们需要一个技巧——构造新数列。比如已知aₙ = 3aₙ₋₁ + 2，这个递推式看起来不像等差。但如果我们两边都加1，得到aₙ + 1 = 3(aₙ₋₁ + 1)。这时候令bₙ = aₙ + 1，就有bₙ = 3bₙ₋₁，这是个等比数列。求出bₙ的通项，再换回aₙ，就得到结果了。这种"构造法"在解较难的数列题时特别常用。

方法三：等比数列公式法——比相等就用它

等比数列的特征是相邻两项的比值相等，这个比值叫公比，用q表示。

比如2, 6, 18, 54, 162……后一项除以前一项都是3，所以q=3。首项a₁=2。等比数列的通项公式是：

等比数列的公比q可以是分数，比如1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16……这时候q=1/2，数列越来越小，但公式依然成立。

需要注意的是，等比数列的公比不能为0或者1吗？其实公比可以是1，那就是常数数列，比如5, 5, 5, 5……这时候公式变成aₙ = a₁ × 1ⁿ⁻¹ = a₁，结果就是首项本身。公比也不能是0，否则第二项以后全是0。

等比数列还有一个重要的点：当q为负数的时候，数列会正负交替。比如1, -2, 4, -8, 16……公比q=-2。这时候通项公式是aₙ = 1 × (-2)ⁿ⁻¹，计算的时候注意符号变化就行。

方法四：差分法——找不到规律时就用它

当一个数列看起来没什么明显规律时，差分法往往能帮上忙。差分的原理是：如果原数列看不出规律，那就看看它相邻两项的差值形成的"新数列"有没有规律。如果新数列有规律，我们再对差值数列用同样的方法，直到找出规律为止。

具体怎么做呢？给你演示一下。比如这样一个数列：1, 3, 6, 10, 15……

第一阶差分：后减前。3-1=2，6-3=3，10-6=4，15-10=5。得到2, 3, 4, 5……这是个等差数列！

第二阶差分：3-2=1，4-3=1，5-4=1。得到1, 1, 1……常数列，规律太明显了。

因为第二阶差分是常数1，所以原数列是一个"二次型"数列，通项公式应该是关于n的二次函数。假设aₙ = An² + Bn + C，然后用已知的项来求A、B、C的值。比如n=1时a₁=1，n=2时a₃=3，n=3时a₆=6，代入解方程组就行。

差分法的精髓在于逐层剥离。一阶差分看不出规律就做二阶，二阶不行就三阶。理论上说，任何多项式形式的数列，经过有限次差分之后都会变成常数列。金博教育的老师在辅导学生用差分法时，经常强调要"耐心"，多算几行数据，规律可能就藏在后面。

方法五：递推关系法——知三求四

有些数列在题目中不给具体项，而是给一个递推关系式。比如"已知a₁=1，且aₙ₊₁ = 2aₙ + 3"，让你求通项公式。这时候怎么办？

递推式的核心思想是用前面的项表示后面的项。我们可以用"迭代"的方法，把aₙ用aₙ₋₁表示，再用aₙ₋₁用aₙ₋₂表示，一步步展开，直到用上已知的首项。

还是用a₁=1，aₙ₊₁ = 2aₙ + 3来举例。

• a₂ = 2a₁ + 3 = 2×1 + 3 = 5
• a₃ = 2a₂ + 3 = 2×5 + 3 = 13
• a₄ = 2a₃ + 3 = 2×13 + 3 = 29

这样算下去虽然能得到具体项，但太慢了，而且得不到通项公式。我们需要找一个更聪明的方法。

前面提到过的构造法在这里依然适用。我们把递推式aₙ₊₁ = 2aₙ + 3改写一下。两边都加3，得到aₙ₊₁ + 3 = 2(aₙ + 3)。这时候令bₙ = aₙ + 3，就有bₙ₊₁ = 2bₙ，这是等比数列，公比q=2。

所以bₙ = b₁ × 2ⁿ⁻¹ = (a₁ + 3) × 2ⁿ⁻¹ = 4 × 2ⁿ⁻¹ = 2ⁿ⁺¹。

那么aₙ = bₙ - 3 = 2ⁿ⁺¹ - 3。验证一下：n=1时，2²-3=1，对；n=2时，2³-3=5，对；n=3时，2⁴-3=13，对。完美！

构造法的关键是找到那个"恰当的数"来配成等比或等差。有时候是加一个数，有时候是乘一个数，需要根据递推式的特点来凑。这个技巧需要多练，做的题多了，感觉自然就来了。

方法六：特征根法——解线性递推的利器

特征根法是解线性递推数列的通用方法，适用于形如aₙ = p·aₙ₋₁ + q·aₙ₂这样的递推式。当p和q都是常数时，我们可以不用构造，直接用特征方程来求解。

举个例子。已知a₁=1，a₂=3，且aₙ = 3aₙ₋₁ - 2aₙ₋₂，求通项公式。

首先写出特征方程：r² - 3r + 2 = 0。解这个方程，(r-1)(r-2)=0，所以r=1或r=2。

通项公式的形式是aₙ = A·1ⁿ + B·2ⁿ = A + B·2ⁿ。用初始条件来确定A和B：

• n=1时：a₁ = A + 2B = 1
• n=2时：a₂ = A + 4B = 3

解这个方程组，得到A=-1，B=1。所以aₙ = -1 + 2ⁿ = 2ⁿ - 1。

特征根法的优势在于套路固定，只要递推式是线性的，特征方程的解法都是一样的。金博教育的老师在讲这部分内容时，通常会让学生记住几种常见的特征方程对应的通项形式，遇到题目直接套用就行。当然，前提是要理解为什么特征方程长这个样子。

方法七：求和转化法——从尾到头的思路

有时候，数列的递推式中含有求和项，比如aₙ = aₙ₋₁ + Sₙ₋₁，其中Sₙ₋₁是前n-1项的和。这时候我们可以用Sₙ和Sₙ₋₁的关系来解题。

因为Sₙ = a₁ + a₂ + … + aₙ，而Sₙ₋₁ = a₁ + a₂ + … + aₙ₋₁，所以aₙ = Sₙ - Sₙ₋₁。如果递推式已经给出了aₙ和Sₙ₋₁的关系，我们就可以把它转化为Sₙ的关系，通常会更简单。

比如已知a₁=1，aₙ = Sₙ₋₁（n≥2）。因为aₙ = Sₙ - Sₙ₋₁，所以Sₙ - Sₙ₋₁ = Sₙ₋₁，即Sₙ = 2Sₙ₋₁。S₁ = a₁ = 1，所以Sₙ = 2ⁿ⁻¹。那么aₙ = Sₙ - Sₙ₋₁ = 2ⁿ⁻¹ - 2ⁿ⁻² = 2ⁿ⁻²（n≥2），而a₁=1也符合这个式子。

求和转化法的精髓在于把项的问题变成和的问题，有时候和的递推关系比项的递推关系更简洁。这种方法在处理Sn出现的情况时特别管用。

实战提醒：选题要循序渐近

聊了这么多方法，最后想说几句学习建议。学数列通项公式这件事，急不得。先从观察归纳法开始，把简单的规律题做熟，体会"找规律"的乐趣。然后接触等差、等比数列，把公式记牢。接下来学差分法，训练自己的耐心。再往后是递推式和构造法，这时候需要综合运用前面的知识。最后特征根法作为进阶内容。

金博教育的老师经常说，学数列就像搭积木，一层一层搭上去，基础不牢，后面就会摇摇晃晃。很多同学觉得数列难，其实不是知识点难，而是前面的基础概念没理解透，就急着做难题，结果越做越糊涂。

另外，做完题目一定要验证。求出通项公式后，用前几项代入检查一下，看是否符合题目给出的条件。这一步看似简单，能帮你避免很多低级错误。

数列的世界其实挺有意思的。当你掌握了方法，再看那些数字排列，就像在读一本有规律的书。希望这篇文章能帮你打开这扇门，剩下的，就是多练多想了。