初三数学一对一补课：函数题解题技巧全攻略

说起初三数学，函数绝对是让很多学生和家长头疼的一块硬骨头。二次函数、一次函数、反比例函数，这些概念在课本上看起来清清楚楚，但一到做题就傻眼了。我在一对一补课的过程中，接触过太多这样的孩子——他们其实不笨，就是被函数题给绕进去了。今天想把我在金博教育多年补课经验中总结出来的一些解题技巧分享出来，希望能帮到正在为函数发愁的同学和家长们。

函数学不好的原因其实很复杂。有的是基础概念没搞懂，函数图像和代数式之间的对应关系建立不起来；有的是做题太少，拿到题目不知道从哪儿下手；还有的是眼高手低，觉得听懂了就是会了，结果一考试就露馅儿。找到问题所在，才能对症下药。

一、理解函数本质：先把自己讲明白

费曼学习法有一个核心观点：如果你不能用简单的语言解释一件事，说明你并没有真正理解它。这个方法对学函数特别管用。我给初三学生补函数课时，常常会让他们给我讲题，而不是直接告诉他们解法。有时候一道题我听学生讲三遍，他自己就发现哪儿卡住了。

举个例子，什么是二次函数？很多学生背定义张口就来：形如y=ax²+bx+c（a≠0）的式子就是二次函数。但你问他这个式子代表什么，他就说不清楚了。这时候我会让他把二次函数想象成一个"抛物线制造机"。系数a决定开口方向和开口大小，a正开口向上，a负开口向下；|a|越大，抛物线越"瘦"，|a|越小，抛物线越"胖"。b和c呢？b影响对称轴的位置，c决定抛物线和y轴交在哪里。

这么一比喻，学生立刻就明白了。再去做题时，他看到y=2x²-4x+1，不会觉得这只是一堆符号，而能看到一条开口向上、顶点在(1,-1)的抛物线。脑子里有图像，做题就轻松多了。

二、函数图像的三把金钥匙

在我多年的一对一补课实践中，发现把函数图像相关的问题归纳成三类，学生掌握起来会快很多。这三类问题可以说是解答函数题的"三把金钥匙"。

第一把钥匙：读图能力

读图题在中考里几乎是必考的题型。题目给一个函数图像，让你判断增减性、最大最小值、零点位置等等。技巧是什么呢？记住一个口诀："看轴看线看交点"。

看轴就是看坐标轴，x轴和y轴的交点是原点，图像和x轴的交点是零点，和y轴的交点是截距。看线就是看曲线的走势，上升还是下降，陡还是缓，这反映函数的增减性和变化率。看交点就是看图像和其他线条的交点，很多难题的突破口就在这儿。

我教学生读图的时候，会让他们先把图像"翻译"成文字描述。比如图像从左往右上升，就写"y随x增大而增大"；图像在x=2处达到最高点，就写"当x=2时，函数取得最大值"。这么一写，思路立刻清晰很多。

第二把钥匙：作图能力

有时候题目不给你图，要你自己画。画函数图像有没有捷径？太有了。

以二次函数y=ax²+bx+c为例，我教学生用"定点法"画图。第一步，找顶点，横坐标是-b/2a，纵坐标代入计算；第二步，找与y轴的交点，x=0时y=c；第三步，找与x轴的交点，解ax²+bx+c=0这个方程；第四步，找一个对称点，因为抛物线是轴对称图形。这四个点一找，图像就出来了，而且保证准确。

一次函数更简单，两点确定一条直线。找x轴截距（y=0时x的值）和y轴截距（x=0时y的值），连起来就行。考试时时间紧张，这招特别管用。

第三把钥匙：图像变换

函数图像的平移、伸缩、翻折，是初三函数的难点。很多学生搞不清y=f(x)和y=f(x)+k、y=f(x-h)、y=af(x)这些变形有什么区别。

我的教法是"口诀记忆+动手验证"。记住：上加下减整体移，左加右减看x。具体来说，y=f(x)+k是上下平移，k正上移k负下移；y=f(x-h)是左右平移，h正右移h负左移；y=af(x)是纵向伸缩，a的绝对值大于1就拉长，小于1就缩短，如果a负还要关于x轴翻个面。

为什么是"左加右减"而不是"左减右加"？很多学生在这儿犯错。你可以这样理解：你想让图像往右移动h个单位，每个点的x坐标都要变大h，所以新的函数要让原来的x-h代入原函数才得到新的y值。这样记，保证不会错。

三、常见题型与解题模板

初三函数的题型其实很固定，来来回回就那么几种。我把每种题型的解题步骤整理成模板，学生记住模板，做题就像套公式一样简单。

题型一：待定系数法求解析式

这是最基础的题型，给几个点让你求函数解析式。步骤非常固定：

• 根据题目条件设解析式（一次函数y=kx+b，二次函数y=ax²+bx+c等）
• 把已知点坐标代入解析式，得到方程或方程组
• 解方程或方程组，求出未知系数
• 写回解析式，检验是否正确

要注意的是，二次函数有时需要三个点才能确定解析式，有时候给顶点加一个点就够了。选什么方法取决于题目给了什么条件，灵活应变。

题型二：函数与方程、不等式结合

这是中考的重头戏，也是很多学生的噩梦。核心思想是"数形结合"——方程的根就是图像与x轴的交点，不等式的解集就是图像在某条线段的上方或下方。

比如题目让你解不等式ax²+bx+c>0，你可以先画出二次函数y=ax²+bx+c的图像，找在x轴上方的部分，对应的x值就是不等式的解。图像一画，答案一目了然，比光算方程快多了，还不容易错。

再比如函数与方程的综合题，问m为何值时方程有两个不相等的实数根。你只需要让判别式大于零，解这个关于m的不等式就行。但如果你能结合图像理解——判别式大于零就是图像与x轴有两个交点——做题会更有底气。

题型三：实际应用问题

这类题通常是给一个实际情境，比如抛物线形的桥拱、喷泉的水流轨迹、用料最省问题，让学生建立函数模型然后求最值。

我的经验是，这类题关键是"翻译"——把文字描述转化成数学语言。比如"桥拱最高点离水面6米，水面宽10米"，你要能立刻想到这是二次函数，顶点坐标(5,6)或(0,6)，x轴截距±5。然后根据题目要求选变量、列解析式、求解。

最值问题在中考里特别爱考。二次函数的最值公式一定要熟记：顶点纵坐标(4ac-b²)/4a，或者直接把顶点横坐标代入函数求值。应用题算出结果后，要记得检验是否符合实际意义，比如人数不能是负数、长度不能超过原材料长度等等。

四、错题本的正确打开方式

在一对一补课时，我总会问学生同一个问题：你的错题本是什么样的？得到的回答大同小异——把错题和答案抄一遍。这种错题本作用不大，因为抄的时候你并没有在思考。

真正有用的错题本应该这样记：第一行写题目出处（比如2023年朝阳一模第24题）；第二行用自己的话复述题目意思，确保理解了；第三行写下你当时是怎么想的、哪儿错了；第四行写出正确解法，最好一题多解；第五行总结这类题的易错点和解题技巧。

每隔一周，把错题本拿出来重做一遍。如果发现某道题还是不会做，说明没真正掌握，应该回到课本重新理解这部分内容。金博教育的很多高分学员都有这个习惯，他们把错题本越做越薄，最后只剩几道反复出错的难题，集中攻克。

五、不同水平学生的提升策略

并不是所有学生都适合同样的学习方法。我带过基础薄弱的学生，也带过冲刺满分的尖子生，他们的辅导策略完全不同。

这个表格是我多年补课经验的总结，不同水平的学生可以根据自己的情况对号入座。最忌讳的是基础没打好就急着刷难题，或者难题做惯了又忽视了基础题。循序渐进才是正道。

六、考试时的实战技巧

除了平时学习，考试技巧也很重要。同样的水平，考试策略不同，分数可能差不少。

拿到试卷先通览一遍，找到自己会做的题和难题。先把会做的题做完、做对，确保基础分不丢。函数压轴题通常有两到三问，前一两问一般不难，不要被"压轴"两个字吓住，先把能拿的分拿到。

遇到卡壳的题不要死磕，标记好跳过，先做后面的。很多学生考试时在一道题上耗了半小时，结果后面会做的题没时间做，因小失大。回头有时间再回来攻克难题，这时候心态放松了，说不定灵感就来了。

检查的时候，不要轻易改答案，除非有百分之百的把握。人的第一直觉往往是对的，改来改去反而容易把对的改错。但如果发现明显算错了，比如誊错数字、列错方程，这时候一定要改。

写在最后

函数确实难，但绝非不可逾越。我在金博教育带过太多学生，一开始看到函数题就发怵，经过系统训练后不仅不怕了，还能做出以前想都不敢想的压轴题。关键在于找对方法、多加练习、及时总结。

学习没有捷径，但有方法。希望这篇文章里分享的技巧能帮到你。如果你在学习过程中遇到什么困惑，欢迎和老师多交流。学习从来不是一个人的战斗，有人指点、有人陪伴，会走得更稳、更远。