高考冲刺班数学：数列通项公式构造全攻略

记得去年带冲刺班的时候，有個学生问了我一个特别典型的问题："老师，数列这道题我看着答案能看懂，但自己做的时候完全不知道从哪儿下手。"这句话让我思考了很久。确实，数列通项公式的构造不像其他题型那样有固定的套路，它更像是一门"观察—猜想—验证"的艺术。今天我想把这些年教学中最核心的方法整理出来，希望能帮正在备考的同学们少走一些弯路。

一、为什么数列通项是高考数学的"常驻嘉宾"

先说句题外话。很多同学觉得数列小题分值不高，就不太重视。其实仔细看看近五年的高考真题，你会发现数列出现的频率稳得吓人。不管是全国卷还是地方卷，选择题、填空题、大题都有它的身影，而且往往跟函数、不等式、导数这些"硬骨头"结合起来考。金博教育的教研组在分析命题趋势时发现，数列问题正在从单纯的"求通项"向"综合应用"转型，这意味着你不仅要会算，还要懂原理。

更重要的是，学好数列对你的数学思维是一种很好的锻炼。它培养的是一种从特殊到一般的归纳能力，还有把复杂问题拆解成简单步骤的分析能力——这两种能力在其他章节的学习中同样重要。所以哪怕不是为了考试，学好这一块对你整体数学素养的提升也是有帮助的。

二、从最基础的说起：什么是通项公式

在动手构造之前，我们先确认一下基本概念。数列本质上就是一个按照一定规律排列的数列表，比如1, 3, 5, 7, ...或者2, 4, 8, 16, ...。通项公式就是用来表示第n项（记作aₙ）的那个"万能公式"。

举个例子，等差数列的通项公式是aₙ = a₁ + (n-1)d，看起来很简单对吧？但考题不会这么仁慈地直接问你公式，而是会给你一些看似杂乱的数据，让你从中发现规律，然后把通项公式构造出来。这才是真正考验功底的地方。

几个你必须烂熟于心的基本数列

这张表看起来简单，但我要提醒你一点：考试中出现的数列往往不会让你一眼就看出属于哪一类。你需要做的第一件事就是算出前几项的差或比，通过观察差、比的变化来判断数列类型。这是最基础也是最有效的方法。

三、六种构造通项公式的常用方法

1. 观察归纳法：最"笨"也最实用

说实话，我在带学生的时候发现，很多人一看到数列题就想找"高级方法"，结果反而忽视了最朴素的观察法。观察归纳法的核心就是多算几项，多找规律。

具体操作起来，你可以按照下面的步骤来：先把数列的前五到六项列出来，然后计算一阶差分（一项减前一项），如果一阶差分是常数，那直接就是等差数列。如果一阶差不恒定，就再算二阶差分。如果二阶差分为常数，那这个数列通项就是关于n的二次函数。如果二阶差还不恒定，可以继续算三阶差分——一般来说，高考范围内最多算到三阶差分就能找到规律了。

举个例子，假设给你数列1, 3, 6, 10, 15...。乍一看没什么规律，但算一阶差分的话：3-1=2，6-3=3，10-6=4，15-10=5，差分分别是2,3,4,5...这是一个等差数列！继续算二阶差分：3-2=1，4-3=1，5-4=1，二阶差分恒为1。那就可以猜想通项公式是关于n的二次函数，设aₙ = An² + Bn + C，代入前几项解方程就行。答案是aₙ = n(n+1)/2，这个就是著名的三角形数数列。

2. 累加法：处理"差成等差"的情况

当你遇到形如aₙ - aₙ₋₁ = f(n)的递推关系时，累加法就是你的首选。这里的f(n)通常是一次函数或者等差数列。

具体怎么操作呢？把递推式写成aₙ - aₙ₋₁ = f(n)，然后从n=2开始，把所有式子加起来。左边会奇迹般地剩下aₙ - a₁，右边则是f(2)+f(3)+...+f(n)这个求和式。如果右边的和能求出通项公式，整个问题就迎刃而解了。

我举个例子说明。已知a₁ = 1，aₙ - aₙ₋₁ = 2n，求aₙ。用累加法：a₂ - a₁ = 4，a₃ - a₂ = 6，a₄ - a₃ = 8……全部相加后得到aₙ - a₁ = 4+6+8+...+2n。右边的和是一个首项为4、末项为2n的等差数列求和，项数是n-1。计算一下，和为(4+2n)(n-1)/2 = (2n+2)(n-1)。整理后aₙ = (2n+2)(n-1) + 1 = 2n² - 1。验证一下，a₁=2-1=1，对的；a₂=8-1=7，而根据递推式a₂-a₁=4，1+4=7，也对。

3. 累乘法：处理"比成等比"的情况

跟累加法对应的是累乘法，适用于形如aₙ / aₙ₋₁ = g(n)的递推关系，其中g(n)是一个关于n的函数。

操作步骤和累加法类似：把递推式写成aₙ = aₙ₋₁ × g(n)，然后从n=2开始连乘。左边剩下aₙ / a₁，右边则是g(2)×g(3)×...×g(n)。如果右边的乘积能化简，通项公式就出来了。

比如，已知a₁=2，aₙ / aₙ₋₁ = (n+1)/n，求aₙ。用累乘法：a₂/a₁ = 3/2，a₃/a₂ = 4/3，a₄/a₃ = 5/4……全部相乘后得到aₙ/a₂ = (n+1)/3？不对，等一下，应该从n=2乘到n，所以是aₙ/a₁ = (3/2)×(4/3)×(5/4)×...×(n+1)/n。分子分母一约掉，剩下(n+1)/2。所以aₙ = 2 × (n+1)/2 = n+1。这个结果对吗？验证一下：a₁=2，符合；a₂=3，而根据递推式a₂/a₁=(2+1)/2=1.5，2×1.5=3，对的；a₃=4，a₃/a₂=4/3，3×4/3=4，完全正确。

4. 待定系数法：处理线性递推

这是高考中最常见也最重要的一种方法。线性递推长这个样子：aₙ = p×aₙ₋₁ + q×aₙ₋₂，其中p和q是常数。遇到这种形式，你需要先设一个"不动点"方程x = px + q，解出特征根x₁和x₂。然后根据特征根的情况分两种构造通项公式。

如果两个特征根不相等，通项公式的形式是aₙ = A×x₁ⁿ + B×x₂ⁿ，其中A和B由初始条件a₁和a₂确定。如果两个特征根相等，通项公式的形式就变成aₙ = (A + Bn)×x₁ⁿ。

举个具体例子。已知a₁=1，a₂=5，递推关系是aₙ = 3aₙ₋₁ - 2aₙ₋₂。先解特征方程：x² - 3x + 2 = 0，解得x₁=1，x₂=2。两个根不相等，所以设aₙ = A×1ⁿ + B×2ⁿ = A + B×2ⁿ。代入初始条件：n=1时，A + 2B = 1；n=2时，A + 4B = 5。解这个方程组，得到A=-1，B=3。所以通项公式是aₙ = -1 + 3×2ⁿ。验证一下：a₃应该是3×5 - 2×1=13，而公式计算3×8-1=23？不对，算错了。重新算：用公式a₃ = -1 + 3×8 = 23？不对，aₙ = -1 + 3×2ⁿ，那a₃应该是-1 + 3×8=23？但递推计算是a₃ = 3a₂ - 2a₁ = 3×5 - 2×1 = 13。这里明显有问题，让我检查一下方程组的解。

哦，发现错误了。a₁=1时，A + 2B = 1；a₂=5时，A + 4B = 5。用第二个减第一个，得到2B=4，所以B=2。然后A+4=1，所以A=-3。重新算：aₙ = -3 + 2×2ⁿ？不对，2×2ⁿ是2^(n+1)，所以aₙ = -3 + 2^(n+1)。验证a₁：-3 + 4 = 1，对的；a₂：-3 + 8 = 5，对的；a₃：-3 + 16 = 13，递推计算13，正确。这才是对的，刚才解方程时犯了低级错误，大家引以为戒。

5. 换元法：处理非线性递推

有些递推关系看起来很复杂，比如aₙ = p×aₙ₋₁ + q×aₙ₋₁²这样的非线性形式。这时候直接构造通项公式比较困难，但如果你能通过适当的换元把它转化成线性形式，问题就简单多了。

一个经典的例子是已知a₁>0，aₙ = p aₙ₋₁ + q aₙ₋₁²。这类式子看起来麻烦，但如果我们设bₙ = 1/aₙ，就会发现它奇迹般地变成了线性递推：1/aₙ = 1/(p aₙ₋₁ + q aₙ₋₁²) = (1/aₙ₋₁) × 1/(p + q/aₙ₋₁) = bₙ₋₁ / (p + q bₙ₋₁)。如果两边再取倒数，就能得到一个关于bₙ的线性递推式，然后用待定系数法或者特征根法来解决。

换元法的难点在于找到合适的替换变量。这需要一定的经验和技巧。我的建议是多做一些练习，积累常见换元的模式。比如看到aₙ aₙ₋₁相关的情况，可以考虑取对数；看到差的形式，可以考虑差分变换；看到比的形式，可以考虑商的变化。这些技巧在金博教育的数列专题课上有详细的讲解，这里就不展开了。

6. 母函数法：处理复杂递推

母函数法，也叫生成函数法，是处理复杂递推关系的一把"重型武器"。它的基本思路是把数列的通项aₙ看成某个形式幂级数的系数，然后利用递推关系建立关于这个幂级数的方程，最后通过求解方程来得到通项公式。

虽然这种方法在高中数学中用得不多，但在处理高阶线性递推或者带求和项的递推时非常有效。比如当你遇到aₙ = aₙ₋₁ + aₙ₋₂ + ... + a₁这样的递推时，用母函数法可以很快得到结果。

不过我也要实事求是地说，母函数法对高中学生来说偏难，如果不是冲击压轴题的话，可以适当取舍。但了解一下原理还是有好处的，至少在看到答案用这种方法推导时，你不会一脸懵。

四、考场上的实战策略

说了这么多方法，最后我想聊聊考试时的心态和策略。很多同学平时做题都会，但一到考场就紧张，大脑一片空白。针对数列题，我有几点建议：

• 先算前几项，找规律：拿到题目先别急着套公式，把前五项写出来，算算差分或者比值。很多时候规律就藏在这些计算中。
• 分情况讨论：如果递推关系中有参数，比如aₙ = 2aₙ₋₁ + c，而c可能是0也可能是正数，这时候一定要分情况讨论，不要只算一种情况就完事了。
• 验证你的结果：求出通项公式后，一定要代入n=1和n=2验证一下。如果初始条件都不满足，那肯定是哪儿错了。
• 写清楚步骤：高考是按步骤给分的，即使最后结果算错了，过程分还是能拿到的。所以把思路写清楚，不要跳步。

对了，还有一个常见误区要提醒大家：有些同学看到数列题就想用特征根法，但事实上如果数列不是线性递推，特征根法根本用不上。方法的选择要基于题目本身的特点，不是越高级越好。观察题目结构，选择最合适的工具，这才是高手的做法。

写在最后

数列这部分内容，说难不难，说简单也不简单。关键在于你是否真正理解了每种方法背后的逻辑，是否能够灵活运用而不是机械套用公式。我带过的学生里面，有很多人一开始觉得数列很玄乎，但后来掌握方法之后，反而觉得这是最好拿分的一部分。

如果你正在为高考数学发愁，不妨来金博教育的冲刺班看看。我们有专门的数列专题课程，会根据每个人的基础情况制定个性化的学习方案。有时候数学学习就是这样，可能就差那么一层窗户纸，捅破了就豁然开朗了。

祝大家学习顺利，高考加油！