二次函数与x轴交点个数——这个知识点到底怎么学？

说起二次函数和x轴交点个数这个知识点，我在金博教育带过不少初三学生，发现一个共同的问题：课本上明明就一个判别式的公式，Δ=b²-4ac，但孩子们就是容易在这个地方翻跟头。有时候是计算错误，有时候是概念混淆，还有时候是题目换个说法就不会了。这篇文章我想把这个知识点掰开揉碎了讲讲，尽量用大白话说清楚，让你能真正理解而不是死记硬背。

首先我们得搞清楚一件事：为什么二次函数会和x轴有交点？这就要从二次函数的基本形式说起了。

从图像开始理解：抛物线和x轴到底什么关系

二次函数的图像是一条抛物线，这个你应该知道。抛物线有开口方向，要么向上要么向下，这取决于二次项系数a的符号。a大于0的时候开口向上，a小于0的时候开口向下。这个知识点虽然简单，但后面判断交点个数的时候特别重要，你一定要记牢。

那抛物线和x轴的交点是什么意思呢？其实就是找那些让y=0的x值。数学上我们把y=0代入二次函数，得到一个一元二次方程：ax²+bx+c=0。这个方程的根就是抛物线和x轴交点的横坐标。所以求交点个数的问题，本质上就是判断这个方程有几个实数根的问题。

这里有个很关键的点你可能没意识到：一元二次方程的根的个数，直接决定了抛物线和x轴交点的个数。方程没有实数根，抛物线就和x轴没有交点；方程有一个实数根（也叫重根），抛物线就和x轴有一个交点；方程有两个不同的实数根，抛物线就和x轴有两个交点。这个对应关系非常重要，建议你多看几遍，把它刻在脑子里。

判别式Δ：那个让无数学生头疼的三角形符号

好，现在我们知道核心问题是一元二次方程有几个实数根。那怎么判断呢？答案就是用判别式。

判别式的公式是Δ=b²-4ac，这里a、b、c分别是一元二次方程ax²+bx+c=0的系数。这个公式是初三数学里最重要的公式之一，你必须熟练到闭着眼睛都能写对的那种程度。计算的时候特别注意符号，很多同学在这里出错，比如把-4ac算成+4ac，或者把b²算成2b之类的。

那Δ的值和根的个数是什么关系呢？这个是考试最爱考的，我给你整理成表格方便记忆：

这个表格你最好抄在笔记本上，或者设成手机壁纸，反复看一直看到形成本能反应。考试的时候时间紧张，你根本没有时间从头推导这个关系，必须一眼就能判断出来。

我给你举几个例子，看看这个公式具体怎么用。比如方程x²-5x+6=0，a=1，b=-5，c=6。Δ=(-5)²-4×1×6=25-24=1，大于0，所以有两个交点。再比如方程x²-4x+4=0，Δ=(-4)²-4×1×4=16-16=0，所以有一个交点。方程x²+x+1=0呢，Δ=1²-4×1×1=1-4=-3，小于0，没有交点。

这三个例子很典型，你自己做题的时候基本就逃不出这三种情况。注意第二个例子，当Δ=0的时候，虽然数学上说是两个相等的根，但几何上我们只算一个交点，这个地方经常有同学搞混，你一定要记住：相等也是两个根，但抛物线只和x轴接触了一次，所以交点个数是1不是2。

为什么有些同学总是算错？常见错误大盘点

在金博教育的一对一辅导中，我总结了几种学生最容易犯的错误，你可以对照看看自己有没有这些问题。

第一种错误是系数看错。题目给的是一般形式ax²+bx+c=0，但很多同学在写系数的时候把b的符号搞错了。比如方程x²-3x+2=0，a=1没错，c=2也没错，但b应该是-3，不是3。如果你把b当成3去算，Δ=9-8=1，实际上应该算成(-3)²-8=9-8=1，看起来结果对了，但这只是碰巧。换个方程可能就错了，比如x²+3x+2=0，如果你还按b=3算，Δ=9-8=1，但正确的b是3，Δ=9-8=1，这个又对了。你看，符号错了有时候结果对有时候错，这才是最危险的，因为它会让你产生虚假的自信。正确的做法是：先把方程化成标准形式ax²+bx+c=0，然后严格按照公式代入，b是什么符号就写什么符号，不要自己脑补。

第二种错误是计算失误。b²算成2b，4ac算成4a+c，或者-4ac算成4ac之类的。这种错误没有捷径，只能靠多练习。你可以每次算完后再验算一遍，确保万无一失。

第三种错误是题目没读完整。有些题目不会直接给你完整的方程，而是给你一些条件让你自己去列方程。比如"二次函数y=x²+mx+9的图象与x轴有两个交点，求m的值"这种题。你首先得意识到"有两个交点"意味着Δ>0，然后才能往下算。如果你没读懂题目在问什么，后面的计算再正确也是白搭。

还有一种情况值得特别注意，就是系数含有参数的时候。比如y=ax²+(a-1)x+a这种式子，a、b、c都含有字母参数，这时候求交点个数就需要分类讨论。因为参数的存在，Δ的符号可能变化，你需要根据不同的参数范围判断Δ是大于0、等于0还是小于0。这种题目难度比较大，是压轴题常考的题型，我们后面会专门讲。

参数问题怎么破：当系数里出现字母的时候

参数问题确实是二次函数这一章最难的部分，我单独拿出来讲讲。参数其实就是还没确定的数，可能是一个字母代表的各种数值，你需要考虑它取不同值时的情况。

比如这样一个问题：已知二次函数y=(m-1)x²+2mx+(m-1)的图象与x轴有两个交点，求m的取值范围。首先，"有两个交点"意味着Δ>0，对吧？那我们先把Δ算出来。这里a=m-1，b=2m，c=m-1。Δ=b²-4ac=(2m)²-4(m-1)(m-1)=4m²-4(m-1)²。接下来化简这个式子：4m²-4(m²-2m+1)=4m²-4m²+8m-4=8m-4。现在Δ>0就是8m-4>0，解得m>1/2。但还没完，你要注意a不能等于0，因为如果a=0，这根本就不是二次函数了，图象也不是抛物线了。a=m-1≠0意味着m≠1。所以最终答案是m>1/2且m≠1。

你看，这个题有两个容易忽略的地方：一是二次项系数不能为零这个隐含条件，二是最后写答案的时候要写完整。考试的时候老师会设置这些陷阱，你如果只算出m>1/2而忘了m≠1，就会被扣分。

我再给你出一道题巩固一下。题目是：若二次函数y=x²-2mx+m²-1的图象与x轴没有交点，求m的取值范围。"没有交点"意味着Δ<0 a=1，b m，c=m²-1。Δ m)²-4×1×(m²-1)=4m²-4m²+4>

这种题目是不是很坑？它考的就是你对判别式和交点个数对应关系的理解。Δ算出来是4，恒大于0，所以肯定有两个交点，题目要求没有交点是不可能的。这类题目你第一次遇到可能会懵，但想清楚原理后就不难了。

这个知识点在中考里怎么考？

二次函数与x轴交点个数这个知识点，在中考里主要以三种形式出现。第一种是最直接的，给一个二次函数让你判断它和x轴有几个交点，这种题通常出现在选择填空题里，属于送分题，你只要别算错系数就都能做对。

第二种是应用题里的条件。比如在实际问题中，"物体的运动轨迹与地面接触几次"这种表述，就是在问你抛物线和x轴有几个交点。你需要先把实际问题转化成二次函数，然后计算判别式判断交点个数。

第三种是压轴题里的综合应用。这种题目往往把二次函数和几何图形结合起来，比如抛物线和一个三角形有怎样的位置关系，这时候你需要综合运用判别式、顶点坐标、函数单调性等多个知识点。这类题目难度大，分值也高，是拉开分数差距的关键。

不管哪种考法，核心都是判别式Δ的应用。你把Δ的公式记清楚，把Δ和交点个数的对应关系刻在脑子里，就已经掌握了这个知识点的绝大部分。剩下的就是多见题型，多练习，提高计算速度和准确率。

一对一辅导的时候我们怎么帮你？

在金博教育的初三数学一对一辅导中，我们会根据你的具体情况制定学习计划。如果你基础比较弱，我们会从最基本的内容开始帮你梳理，确保你对二次函数的概念、图象、性质都有清晰的认识。然后我们会通过大量的典型例题，让你熟练掌握判别式的计算和交点个数的判断方法。

如果你已经有一定的基础，我们就会侧重于提高和拓展。比如参数问题的分类讨论、复杂情境下的应用、与其他知识点的综合运用等等。一对一辅导最大的优势就是针对性，老师可以根据你的薄弱环节专门设计练习，帮助你快速突破瓶颈。

学习二次函数这个章节的时候，我建议你准备一个错题本，把每次做错的题目整理上去，分析自己到底哪里错了，是概念理解的问题还是计算失误，然后针对性地加强练习。错题本不用做太漂亮，关键是真实记录你的问题，定期翻看确保同样的错误不再犯第二次。

数学这个东西，真的是一分耕耘一分收获。你付出了多少努力，成绩就会给你多少回报。希望这篇文章能帮你把二次函数与x轴交点个数这个知识点学扎实。如果还有其他问题，欢迎来金博教育找我，咱们面对面聊。