高考数学导数难点突破：极值点与最值的解题密码

说到高考数学，导数这道坎儿几乎是每个考生都要迈过去的。很多同学在复习的时候，一看到极值点和最值的问题就发怵，觉得这块知识绕来绕去，公式一堆，真题做起来总是差那么一口气。今天咱们就聊聊这个让无数考生头疼的话题，看看在高考冲刺阶段，怎么才能把这块硬骨头啃下来。

在金博教育的数学课堂上，我们发现一个很有意思的现象：同样一道极值点的题目，有的同学看完题目就能快速定位方法，而有的同学则需要在草稿纸上画半天，还不一定能写对。这中间的差距，其实就在于对概念的理解是不是够透、对方法的掌握是不是够活。今天这篇文章，就想和大家分享一下，极值点和最值这个专题，在高考中到底怎么考、怎么学、怎么才能拿到分。

极值点与最值：高考数学的"常驻嘉宾"

如果你仔细翻翻近几年高考数学全国卷和各地卷的真题，你会发现导数几乎是每年的必考内容，而极值点与最值相关的题目更是常客中的常客。就拿2023年的几套试卷来说吧，全国乙卷理科数学的第20题、北京卷的第19题、浙江卷的第21题，都不同程度的涉及到了极值点的判定、参数范围求解以及函数最值的分析。这些题目分值一般在12分到15分之间，属于真正意义上的"大题"。更关键的是，这类题目往往放在试卷的后半部分，意味着它不仅考查知识，还考查你在高压环境下的思维能力和计算功底。

为什么高考这么喜欢考极值点和最值？我想了想，大概有几个原因。首先，这个知识点本身具有很强的综合性，它需要你对导数的定义、计算、函数单调性的判断、参数的处理等多个环节都有扎实的理解，一道题就能考出你的真本事。其次，极值和最值的思想在实际生活中有着广泛的应用背景，高考出这样的题，也是希望考生能体会到数学和现实的联系。第三，这类题目有足够的区分度，它不是那种靠背公式就能拿分的题，需要真正的理解和灵活运用，这对选拔人才来说是很重要的。

从难度分布来看，极值点和最值的题目在不同试卷中难度差异比较大。有些省份的题目相对温和，考查的是基本方法和常规套路；而像江苏、浙江这些教育强省的试卷，题目往往会设置多个小问，层层递进，最后一问往往需要构造函数、分类讨论，甚至用到二阶导数或者极限的思想。对咱们考生来说，不管是哪种情况，都需要对基本概念有清晰的认识，对常用方法有熟练的掌握。

极值点到底是什么？一次说透

在学极值点之前，咱们先回忆一下导数的几何意义。函数在某一点的导数，实际上就是曲线在该点切线的斜率。当导数等于零的时候，切线是水平的，这种情况在数学上有个专门的名字，叫做驻点。但是同学们要注意，驻点不一定是极值点，驻点只是极值点的"候选名单"，到底是不是极值点，还需要进一步验证。

那极值点到底该怎么判断呢？这里给大家介绍几种最常用的方法。第一种是一阶导数符号判别法，这也是课本上讲的方法：如果在x₀的左右两侧，一阶导数的符号从正变负，那么x₀就是极大值点；如果从负变正，就是极小值点；如果符号不变，那就不是极值点。这种方法的好处是直观，容易操作，缺点是需要列表或者画符号表，稍微有点繁琐。

第二种是二阶导数判别法。当函数在x₀处的二阶导数存在且不为零的时候，我们可以用更简洁的方法：如果f''(x₀)小于零，极大值；如果f''(x₀)大于零，极小值。这种方法在计算上更快捷，但它有个前提条件——二阶导数必须存在且不为零。如果二阶导数等于零，这个方法就失效了，还得回到一阶导数的方法。

第三种方法可能很多同学不太熟悉，但在高考中偶尔会用到，就是极值点的定义法。根据极值的定义，如果存在x₀的一个邻域，使得在这个邻域内f(x)≤f(x₀)对所有x成立（极大值的情况），或者f(x)≥f(x₀)对所有x成立（极小值的情况），那么x₀就是极值点。这种方法在处理一些特殊函数或者证明题的时候特别有用。

说了这么多方法，我想强调一点：方法只是工具，真正的核心在于你对函数图像的把握。在金博教育的课堂上，我们经常让学生先不要急着求导，而是先观察函数的结构，看看它有什么特点，可能的极值点会出现在哪里。这种"先想后算"的习惯，对提高解题效率非常有帮助。

易错点警示：极值点与驻点的区别

这里必须给大家提个醒，这是很多同学容易混淆的地方。驻点是指导数等于零的点，而极值点是函数值发生局部变化转折的点。所有的极值点都必须是驻点吗？不对，反例很好找：函数f(x)=|x|在x=0处取得极小值，但这个点的导数根本不存在，更谈不上是驻点了。那反过来，所有的驻点都是极值点吗？也不对，比如f(x)=x³在x=0处导数为零，但函数在整个实数轴上都是递增的，x=0根本不是极值点。

这个知识点虽然基础，但年年高考都有人在这里栽跟头。有的同学看到导数为零就兴奋，觉得找到了极值点，结果忘了验证符号变化，丢分丢得很可惜。所以大家在平时练习的时候，一定要养成习惯：求出驻点之后，必须验证它左右两侧的导数符号变化情况，确认是极值点再往下做。

最值问题：端点和极值点的"对决"

如果说极值点是函数局部的"最高"或"最低"，那最值就是函数在某个区间上的"全局最高"或"全局最低"。求函数在闭区间上的最值，步骤其实挺清晰的：先找区间内的所有极值点（也就是驻点和导数不存在的点），然后计算这些点以及区间端点的函数值，最后比较这些值的大小，最大的就是最大值，最小的就是最小值。

这个方法看起来简单，但实际操作起来有几个坑需要注意。第一，极值点的寻找要全面。有的同学只找驻点，忘了导数不存在的点，比如函数f(x)=x^(2/3)在x=0处没有导数，但这个点恰恰是极小值点，如果漏掉了，最值就求错了。第二，端点值不能忘。有些同学算着算着就忘了把端点带进去比较，结果当然不对。第三，分类讨论要完整。当函数含有参数的时候，不同的参数范围可能导致极值点的情况完全不同，这时候必须分情况讨论，每一种情况都要完整处理。

还有一种情况值得单独说一下：开区间上的最值。如果函数定义在一个开区间上，最值可能不存在，也可能出现在区间内部的极值点，还可能"趋近"于端点。比如函数f(x)=x在区间(0,1)上没有最大值，因为x可以无限接近1但永远不等于1。这种情况需要用极限的思想来分析，题目中往往会问"是否存在""是否取得"这类问题，大家要特别注意。

参数范围问题：高考最愛考的题型

参数范围问题是高考导数题中的"重头戏"，也是区分度最高的题型之一。这类题目的特点是：题目中含有一个或多个参数，需要我们根据题目条件求出参数的取值范围。常见的题型包括：根据极值点的个数确定参数范围、根据函数的最值情况确定参数范围、根据不等式恒成立或存在性确定参数范围等等。

处理这类问题，核心思路其实很简单：把题目条件翻译成数学语言，然后解不等式或者方程。以"函数有且仅有一个极值点"为例，这意味着什么？意味着函数的一阶导数有且仅有一个零点（或者仅有一个使导数不存在的点，但这种情况较少见）。那么我们可以设f'(x)=0这个方程只有一个解，然后通过判别式、构造函数、分离参数等方法来求解参数范围。

在高考中，有几类参数问题出现的频率特别高，我来给大家盘点一下。

第一类：双参数或参数混合问题

有些题目会同时出现两个参数，或者参数和其他变量混合在一起。这种题目往往需要先用其中一个参数表示另一个，或者寻找参数之间的某种关系。比如下面这道题：

这类题目需要你把题目给的条件一个一个翻译成方程，然后联立求解。关键是不要遗漏条件，每一条条件都是有用的。

第二类：构造函数后求参数范围

这类题目往往是给出一个不等式或者等式，需要你构造函数，把问题转化为研究新函数的单调性或极值，从而求出参数范围。比如："已知对任意x>0，f(x)>g(x)恒成立，求参数a的取值范围"。这时候我们可以设h(x)=f(x)-g(x)，研究h(x)在x>0上的最小值，让最小值大于零就可以了。

构造函数这个技巧，说起来容易，做起来需要一定的积累。在金博教育的辅导过程中，我们发现很多同学不是不会构造函数，而是不知道什么时候该构造、该怎么构。解决这个问题的方法就是多见题型、多总结规律。比如看到"f'(x)+kf(x)>0"这种形式，就要想到构造h(x)=e^(kx)f(x)；看到"xf'(x)+kf(x)"这种形式，可能需要构造h(x)=x^kf(x)之类的。

第三类：极值点偏移问题

极值点偏移是近几年高考的热点题型，典型的特征是：函数在某点取得极值，但这个极值点并不是函数图像的对称中心，导致函数在极值点两侧"一边胖一边瘦"。题目往往会给出极值点两侧某两个点的函数值关系，要求我们证明某个不等式或者求某个参数的范围。

处理极值点偏移问题，核心方法有几种：第一是构造函数法，把题目中的不等式转化为某个新函数的单调性；第二是极值点平移法，构造一个以极值点为对称中心的新函数，把问题转化为标准问题；第三是对数均值不等式，这是处理双变量问题的一个有力工具。这几种方法各有优劣，具体用什么方法，需要根据题目特点来选择。

高考实战技巧：考场上的应对策略

说了这么多方法，最后还是要回到考场上。高考数学的时间是有限的，极值点和最值这种大题，通常需要20到30分钟来完成，怎么在有限的时间里把会做的题做对，这里有些小技巧可以分享给大家。

第一，先读题再看问。很多同学拿到题目就开始从第一问做，做到最后一问才发现有些条件前面没用上。我的习惯是先快速浏览整个题目，把所有条件都弄清楚，再开始动笔。这样可以避免走弯路，也能帮助你在做前面小问的时候就为后面做铺垫。

第二，步骤规范，逻辑清晰。导数题目的评分标准里，步骤分占的比例很大。哪怕最后结果算错了，中间步骤对了也能拿不少分。所以大家写的时候，框架要清晰：求导、求驻点、判断符号、求极值、比较端点，每一步都要有，而且要写在显眼的位置。

第三，计算要留痕，错了能回溯。考场上最怕的就是算到一半发现前面错了，整个过程要重来，时间又不够。我的做法是在草稿纸上分区域计算，每个区域标上题号，这样如果发现哪里不对，可以很快找到源头，不用全部推倒重来。

第四，特殊情况要敏感。导数题目中经常会出现特殊情况，比如导数不存在的点、参数取特定值时函数性质发生变化等等。做题的时候要时刻保持警觉，一旦发现可能有特殊情况，就要单独列出来讨论，不能只考虑一般情况。

写在最后：给正在冲刺的你

高考数学的导数部分，确实有一定的难度，但它不是不可逾越的。在金博教育的教学实践中，我们见过太多同学从一开始看到导数题就发怵，到最后高考能把导数大题做到几乎满分的程度。关键在哪里？就在于是不是真的理解了概念，是不是真的掌握了方法，是不是真的下了功夫去练习。

极值点和最值这个专题，说到底就是在研究函数的"高低起伏"。当你理解了这一点，再去看那些题目，就会发现它们其实都是在问你：函数在哪里"抬头"、在哪里"低头"、"最高"能到多少、"最低"能到多少。把这些问题想清楚了，解题的方法自然就出来了。

最后几个月的时间，说长不长，说短也不短。希望大家能够沉下心来，把基础打牢，把方法练熟，把错题吃透。高考这道坎，迟早是要迈过去的，迈过去之后，回头看，其实也没那么可怕。加油吧，同学们，金博教育和你们在一起。