北京初三数学一对一辅导：相似三角形性质应用那些事儿

说起初三数学里的"相似三角形"，很多同学第一反应就是——"这玩意儿中考到底考不考？"说实话，不仅考，而且考得还挺频繁。我在金博教育带过的学生里，差不多有八成都会在一轮复习时跟我说："老师，相似三角形我之前学得稀里糊涂，现在做题总是卡壳。"

今天咱们就好好聊聊相似三角形性质的那些应用，不搞那些虚头巴脑的理论，就用最实在的话把这个知识点讲透。我会从最基础的概念说起，再说到怎么在题目里灵活运用，最后再聊聊为什么有些同学学这部分觉得吃力，而另外一些同学却能轻松拿高分。

首先，相似三角形到底是个啥？

咱们先回到最本质的问题：相似三角形究竟是啥？

想象一下，你拿手机拍一张照片，照片里的人和实际的人长得一模一样，但是大小不一样，这就是"相似"。相似三角形也是这个道理——两个三角形形状完全相同，但大小可能不一样。用数学语言来说就是：三个角分别相等，三条边的比例也相等。

这里有个关键点很多同学容易搞混：相似三角形不需要对应边长度相等，只需要比例相等就行。比如一个三角形三边是3、4、5，另一个是6、8、10，那它们就是相似的，因为6:3=2，8:4=2，10:5=2，比例都是2倍。

那怎么判断两个三角形相似呢？中考大纲里明确了三种常用方法，我建议同学们一定要记牢：

• AAA判定法——两个角分别相等，第三个角自然相等，这是最常用的
• SAS判定法——两边成比例且夹角相等
• SSS判定法——三边成比例

在金博教育的课堂上，我们通常会让学生先把这三种判定方法背得滚瓜烂熟，然后通过大量例题来巩固。你还别说，有些学生一开始觉得背这些很枯燥，但做起题来发现——嘿，真的有用！

相似三角形的性质到底怎么用？

知道了什么是相似三角形，接下来就得说说它的性质。性质这块分两类：一类是比较直接的性质，另一类是推论。我一个一个说。

基础性质：对应元素成比例

最核心的性质就是：相似三角形的对应边成比例，对应角相等。这个听起来简单，但用起来讲究可不少。

首先，"对应"这两个字特别重要。什么叫对应？就是位置要对应上。比如三角形ABC和三角形DEF相似，那角A要对应角D，角B对应角E，角C对应角F。写的时候要按对应的顺序写，不能乱写。有些同学做题的时候经常把对应关系搞错，导致比例写错，整个题目就白做了。

在考试里，这个性质最常考的用法是：通过相似三角形来求边的长度。比如已知两个相似三角形，其中一个三角形的两条边是3和5，另一个三角形对应的边是6，求第三条对应的边。这时候列比例式就完事儿了。

重要推论：平行线分线段成比例

这个推论特别实用，我建议同学们重点掌握。内容是这样的：

三条直线被两条平行线所截，截得的对应线段成比例。用图来说话就是：一条斜线被两条平行线切，切出来的线段长度比例是一样的。

这个推论能引申出好几个定理，比如"平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的对应线段成比例"。听起来有点绕口，我给大家翻译一下：假如在三角形ABC里画一条平行于BC的线，交AB于D，交AC于E，那么AD/AB = AE/AC = DE/BC。

这个定理在证明题里出现频率特别高，而且经常和其他知识点结合起来考。比如金博教育去年有个学生，中考数学考了满分，他说印象最深的就是最后一道几何综合题，用到了平行线分线段成比例这个知识点，过程写得很顺。

另一个推论：重心分线段比例

这个推论相对考得少一些，但也不能完全不重视。重心是三角形三条中线的交点，它有一个性质：重心把每条中线分成2:1的两段，其中较长的一段是从顶点到重心的距离。

这个性质在选择填空题里偶尔会出现，如果你时间充裕，可以推导一下这个结论是怎么来的，对理解三角形整体结构有帮助。

相似三角形在中考里怎么考？

说了这么多性质，大家最关心的可能还是：中考到底怎么考这部分内容？

我统计了一下近五年的北京中考数学试卷，相似三角形的考点主要集中在以下几个方面：

从分值来看，相似三角形相关内容在整个中考数学里占了大概二十分左右，这个比重已经相当可观了。而且它经常和其他几何知识结合起来考，比如和圆有关的证明题，和四边形有关的计算题，难度一般在中上水平。

让我印象特别深的是有一年中考几何压轴题，题目给了一个图形，里面有两对相似三角形，需要考生先找出这两对相似三角形，再利用它们的性质推导最后的结果。那道题区分度很高，会做的同学二十分钟就能做完整道题，不会做的同学可能卡在第一步就卡住了。

典型例题解析：怎么一步步想问题

为了让大家更直观地理解相似三角形性质怎么用，我选一道典型例题来讲解一下思路。这道题是我在金博教育教研时整理的，难度中等偏上，很能体现相似三角形的典型考法。

例题：如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=2，DB=3，AE=1.5，求EC的长度。

首先，看到"DE∥BC"这个条件，脑子要立刻反应出来：这是平行线分线段成比例的典型结构。接下来说明解题思路。

第一步：确定相似三角形。因为DE∥BC，所以∠ADE=∠ABC（同位角相等），∠AED=∠ACB（同位角相等），再加上公共角∠DAE=∠CAB，根据AAA判定法，△ADE∽△ABC。

第二步：写对应边的比例式。因为相似，AD/AB = AE/AC = DE/BC。这里AB是AD加DB，也就是2+3=5，AE已经给出是1.5，AC等于AE加EC，也就是1.5+EC。

第三步：代入数值计算。AD/AB = 2/5，AE/AC = 1.5/(1.5+EC)。因为这两个比值相等，所以2/5 = 1.5/(1.5+EC)。解这个方程，两边同乘5(1.5+EC)，得到2(1.5+EC)=7.5。展开得3+2EC=7.5，2EC=4.5，EC=2.25。

这道题看起来简单，但能考察出学生对相似三角形性质的掌握程度。很多同学刚学的时候容易在"对应边"这个环节出错，比如把AD/AB写成AD/DB，那就整个比例都错了。

我再强调一点：写比例式的时候，一定要按对应的顺序写。△ADE和△ABC相似，A对应A，D对应B，E对应C，所以AD对应AB，AE对应AC，DE对应BC。顺序不能乱，顺序一乱全盘皆输。

为什么有些同学学这部分觉得吃力？

在金博教育做辅导这么年，我发现学相似三角形吃力的学生主要有三类问题。

第一类：对应关系搞不清楚。这类学生做题的时候，经常分不清谁对应谁。题目里明明写着△ABC∽△DEF，他写比例式的时候却写成AB/DE = BC/EF，这不是自己给自己挖坑吗？对这种情况，我通常会让学生在草稿纸上把两个三角形的顶点按对应关系写成一排，比如上面写A-D，下面写B-E，C-F，这样看对应关系就清晰多了。

第二类：不会从复杂图形中识别相似三角形。几何综合题里的图形通常比较复杂，线条很多，学生容易看花了眼。我的建议是：首先找相等的角，平行线、同弧所对的圆周角、公共角都是找相等的角的线索；然后看这些相等的角能不能组成两个三角形，如果能，再验证对应边是否成比例。

第三类：计算粗心，比例式列对但算错。这种最可惜，明明思路对了，结果算错了分数拿不到。我会让学生养成草稿纸分区的好习惯，计算题单独占一块，算完再验算一遍。另外，单位要统一，比例式两边的单位要一致，不然也算不对。

一对一辅导对这部分学习有啥帮助？

说到这儿，我想聊聊为什么我建议基础不太牢或者想冲高分的同学考虑一对一辅导。

就拿相似三角形这部分来说，班课老师一堂课可能要讲二三十个知识点，节奏比较快。但每个学生的问题点不一样：有的学生是相似判定没搞懂，有的学生是比例式列不对，有的学生是综合题思路打不开。班课很难针对每个人的问题下功夫，但一对一可以。

在金博教育的一对一课堂上，我们会给学生做学情诊断，先搞清楚他到底卡在哪个环节。如果是相似判定的问题，就专项训练判定方法的应用；如果是比例计算的问题，就多练计算题；如果是综合题没思路，就带着他一起分析图形，总结常见的解题模型。

而且一对一辅导的节奏可以根据学生的情况调整。理解能力强的学生可以进度快一点，多接触一些压轴题；基础弱一点的学生就放慢脚步，把基本概念和性质彻底弄懂再往下走。这种灵活性是班课给不了的。

我记得有个学生，来金博教育之前相似三角形这块基本是懵的，单元测试只能得四十多分。我们上了大概十二次课，专门针对相似三角形做专项训练，后来他再做这部分题目，正确率能到八成以上。中考数学考了一百零三分，虽然不是特别拔尖，但相比之前进步非常明显。

给正在备考的同学几点建议

最后，我想给正在备战中考的同学提几点实操性的建议。

第一，把相似三角形的判定定理和性质定理背得滚瓜烂熟。不是死记硬背，而是理解性记忆。比如AAA判定法，为什么两个角相等就能确定相似？因为第三个角自动就相等了，三角形内角和是180度嘛。理解了这个逻辑，根本不用刻意去背，考试的时候现场推导都行。

第二，多画图，多动手。学几何不动笔是大忌。很多同学看题目的时候在脑子里想象图形，但有时候脑子里的图形和实际题目给的图形不太一样，结果想当然就开始做题，结果做错了。我建议大家不管题目多简单，都把图画在草稿纸上，标上已知的边长和角度，这样思路会清晰很多。

第三，做完题目多复盘。一道题做对了，不代表你完全掌握了。你要问问自己：这道题用到了哪些知识点？相似三角形是怎么找出来的？比例式为什么这么列？下次遇到类似的题能不能举一反三？复盘的过程才是真正提升的过程。

第四，不要忽视计算能力。相似三角形这部分有时候需要解方程，有些同学方程列对了，但解方程出错，白白丢分。所以基础的代数计算能力还是要保证的，不能觉得到了初三还在练计算就不好意思。

相似三角形这块内容，说难不难，但确实需要下功夫去理解、去练习。它是初中几何的核心内容之一，学好了不仅对中考有帮助，对以后学高中几何也有铺垫作用。希望同学们不要有畏难情绪，静下心来一点点攻克它。

如果你在学习这部分内容的时候遇到了什么困惑，欢迎来金博教育坐坐，咱们面对面聊一聊学习中的问题。有时候自己琢磨半天想不通的东西，老师一点拨就通了，学习这事儿有时候确实需要有人推一把。