初三数学辅导：圆的内接多边形性质原来可以这么用

记得上周有个学生问我："老师，圆里面画个多边形，这种东西中考到底考什么？"我愣了一下，觉得这个问题特别好。确实，很多同学学到圆的内接多边形时，感觉公式多、性质杂，不知道这些东西跟实际解题有什么关系。今天咱们就好好聊聊这个话题，把圆内接多边形的性质掰开揉碎了讲，争取让你看完之后有种"原来如此"的恍然大悟。

我在一对一辅导过程中发现，很多孩子不是学不会这些性质，而是不知道什么时候该用哪个性质。就像你手里有一堆工具，却不知道该在什么场合掏出哪个来用。所以这篇文章我不只是罗列知识点，更重要的是告诉你这些性质怎么用在解题里，怎么在考试中拿到分数。

先搞懂基础：圆和内接多边形到底是啥

在说内接多边形之前，咱们得先把圆的基本概念搞明白。圆这东西看着简单，其实里面的道道不少。圆心就是圆的那个"心脏"，所有半径都从这儿出发，长度都一样。直径呢，就是穿过圆心连接圆上两点的线段，等于半径的两倍。这两个概念是后面所有内容的基础，你得先刻在脑子里。

那什么叫做圆的内接多边形呢？说白了，就是一个多边形的所有顶点都落在圆周上。这个多边形就在圆"里面"贴着边，所以叫内接。反过来也有外接，就是多边形在圆外面，顶点都在多边形上。这个概念容易搞混，你记住一个口诀：内接看顶点，外接看边。顶点都在圆上，叫内接；边都贴着圆，叫外接。

举个例子，正方形内接于圆，就是正方形的四个角正好落在圆周上。这时候你能想到什么？对角线！正方形的对角线正好是圆的直径。这个结论很有用，后面的题经常用到。

正方形和三角形的性质是考查重点

初三阶段，圆内接多边形的考点主要集中在正方形和三角形上。咱们一个一个说。

圆内接正方形的核心性质

正方形内接于圆的时候，有几个性质你必须记住。

第一个性质：对角线等于直径。这个最好记，正方形两条对角线相等且互相垂直平分，而圆心正好是对角线的中点，所以每条对角线的长度都是直径。如果你画个图看，会发现四个顶点正好把圆周四等分，每段弧都是90度。

第二个性质：边长和半径的关系。假设正方形边长是a，半径是r，那么根据勾股定理，对角线是a√2，而对角线等于2r，所以a√2 = 2r，得到a = r√2。这个关系式在计算题里经常用到。

第三个性质：面积关系。正方形面积是a²，圆面积是πr²，代入上面的关系，正方形面积是2r²。你看，这些量之间都是互相联系的，记住一个就能推导其他。

圆内接三角形的性质应用

圆内接三角形的情况稍微复杂一点，因为三角形不像正方形那么规整。但恰恰是因为这种"不规整"，考查的灵活性更大。

最重要的性质：圆心角和圆周角的关系。这个知识点绝对是一对一辅导时的重点中的重点。同弧所对的圆周角相等，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半。用公式写出来就是：∠BOC = 2∠BAC，其中O是圆心，A、B、C在圆周上。

这个性质为什么重要？因为它能把分散的条件联系在一起。比如题目给你几个角的关系，让你求某个角的度数，你就可以通过圆心角和圆周角的转换来解题。

我再给你说一个有用的结论：圆内接四边形对角互补。也就是说，四边形ABCD内接于圆的话，∠A + ∠C = 180°，∠B + ∠D = 180°。这个性质在证明题里特别管用，有时候还能帮你倒推某个四边形是不是内接于圆。

这些性质怎么用在解题里

知道了性质，下一步就是怎么用。我来给你举几个典型例子的思路，你感受一下。

例题一：求角度问题

题目是这样的：圆O中，弧AB所对的圆周角是30°，求弧AB所对的圆心角是多少？

这种题就是送分题，直接套用圆心角是圆周角的两倍这个性质。圆心角就是30°乘以2，等于60°。你可能会说，这也太简单了吧？对，这种题就是考你知不知道这个关系，记住了就会，记不住就蒙圈。

例题二：多条件综合题

稍微难一点的题会把好几个性质混在一起用。比如下面这道：圆内接四边形ABCD中，∠A = 70°，∠B = 110°，求∠C和∠D的度数。

解题思路是这样的：首先用圆内接四边形对角互补的性质。∠A和∠C互补，所以∠C = 180° - 70° = 110°。然后∠B和∠D互补，∠D = 180° - 110° = 70°。你发现了吗？∠A = ∠D，∠B = ∠C，这是圆内接四边形的规律。

例题三：计算边长问题

再来看一道计算题：圆内接正方形的对角线长度是10cm，求正方形的边长和圆的半径。

对角线就是直径，所以直径是10cm，半径就是5cm。正方形边长根据之前的推导，边长 = 直径÷√2 = 10÷1.414≈7.07cm。精确一点的话，10/√2 = 5√2 cm。

这种题就是套公式，但前提是你得记得那些推导出来的关系式。很多同学公式记混了，算出来的数就不对。

一对一辅导时我通常怎么教这部分

在金博教育做一对一辅导的时候，我发现孩子们在这部分的学习上主要有几个共性问题。

第一个问题：性质记不住、更不会用。我的做法是先带着学生把每个性质用自己的话复述一遍，确保他真的理解了，而不是死记硬背。比如圆周角和圆心角的关系，我会让学生画图、自己量角度，亲自验证这个关系是对的。数学这东西，自己验证过的东西比背十遍都记得牢。

第二个问题：见到题目不知道从哪儿下手。这种时候我通常会引导学生先找"突破口"——题目里给的角啊、边啊、弧啊，哪些能和性质挂上钩。比如看到"同弧"两个字，马上想到圆周角相等；看到"直径所对的圆周角"，立刻想到90度。这些关键词就是解题的钥匙。

第三个问题：计算出错或者步骤不规范。几何证明题最讲究步骤完整，我通常会让学生先把已知条件在图上标出来，写清楚每一步推导的依据。时间长了，养成规范答题的习惯，考试时就不容易丢分。

给初三学生的实用学习建议

说到这儿，我想给你几条掏心窝子的建议。

• 一定要画图。很多几何题，画个准确的图出来，解题思路就清晰了一半。别嫌麻烦，动笔画一画，比你盯着题目干看好使多了。
• 性质要活学活用。别死记硬背结论，要理解这个结论是怎么来的。比如圆心角是圆周角的两倍，你得知道为什么是这样，画个图看看就明白了。
• 错题本很重要。把做错的题按类型整理下来，定期回顾。你会发现其实来来回回考的就是那些知识点，换个说法而已。
• 限时训练不能少。中考是有时间压力的，平时练习要计时完成，提高做题速度的同时保证准确率。

学习几何这件事，我觉得最重要的还是培养一种"图形思维"。你看到一个圆、看到几条线，脑子里能自动反映出相关的性质和关系。这种能力是练出来的，不是听课听出来的。所以我建议你在理解的基础上，多做题、多总结。

如果在学校上课的时候有没听懂的地方，或者做题的时候遇到卡壳的地方，可以考虑找个一对一的辅导老师帮你梳理一下。毕竟每个人的薄弱点不一样，一对一最大的好处就是能针对你的问题下功夫。在金博教育，很多初三的学生就是通过这种方式，把圆这部分的知识漏洞补上来的。

写在最后

圆的内接多边形这部分内容，说难不难，但确实需要下一番功夫去理解和练习。性质就那么几条，关键是你得知道什么时候该用哪一条。这个需要通过做题来积累经验，见的题型多了，考试时自然就能反应出来。

学习这件事急不得，你每天弄懂一个小知识点，日积月累就厉害了。别觉得现在离中考还早，时间过得可快了。现在把基础打牢了，后面复习起来轻松很多。加油吧，少年！数学其实没那么可怕，找对方法、学以致用，你会发现几何题做起来还挺有意思的。