导数与函数极值点：高考数学最常考的题型之一

说到高考数学，导数这部分内容绝对是重中之重。每年高考，不管你是文科还是理科，导数与函数极值点的题型几乎是必考的。有意思的是，这部分内容看起来公式定理不少，但真正考试的时候，很多同学还是会在上面丢分。我带过不少高三学生，他们普遍反映的问题就是：上课听老师讲好像都懂了，自己做题的时候却不知道从哪儿下手。今天我想把导数与函数极值点这部分内容好好梳理一下，从基本概念到常见题型，再到解题技巧，都给大家讲清楚。

在金博教育的教学实践中，我们发现学生在这块知识点的学习上存在一个共性问题：他们往往能把导数的计算法则背得滚瓜烂熟，但一旦题目变个样，需要判断极值点或者求参数范围时，就不知道该怎么把导数和题目条件联系起来了。所以这篇文章我会着重讲清楚这层联系，帮助大家真正理解极值点到底是怎么回事。

极值点的本质：函数图像的"拐点"

在开始讲导数之前，我们先来想一个问题：什么是极值点？其实你可以把极值点理解为函数图像上的"山峰"或者"山谷"。想象一下一座连绵起伏的山脉，有些地方是山峰（函数值达到局部最大），有些地方是山谷（函数值达到局部最小），这些位置就是我们要研究的极值点。

不过这里要特别注意，极值点有局部和全局之分。我们平时说的极大值点、极小值点，都是指局部范围内的最大值和最小值。比如一座山上有好几个山头，其中最高的那个是全局最大值，但每个山头相对于它周围的小范围来说，都是一个极大值点。高考数学里主要考的是局部极值点的判断和求法，这点一定要搞清楚。

那极值点和导数有什么关系呢？这就要提到费马定理了。简单来说，如果函数在某个点可导，并且这个点是极值点，那么这个点的导数一定等于零。反过来说，导数等于零的点不一定是极值点，还有可能是鞍点或者其他情况。这就是为什么我们不能简单地认为"导数为零的就是极值点"，还需要进一步判断。

判断极值点的两大方法

第一种方法：穿针引线法（一阶导数符号判断法）

这是最常用也最直观的方法。具体怎么做呢？首先找出函数的所有驻点，也就是导数等于零的点。然后把这些驻点从小到大排列好，作为分界点，把整个定义域划分成若干个区间。接下来，在每个区间内取一个测试点，计算这个点的一阶导数符号，就能知道函数在这个区间是递增还是递减。

通过观察导数符号的变化，我们就可以判断极值点了。如果函数从递增变为递减，那么这个点就是极大值点；如果从递减变为递增，那就是极小值点。如果导数符号不变，那就不是极值点。举个例子，假设我们有一个三次函数，它的一阶导数是二次函数，最多有两个根，所以整个图像最多有两个极值点——一个极大，一个极小，这在高考题里特别常见。

第二种方法：二阶导数判断法

当函数二阶可导的时候，我们还有另一个判断工具。如果某点处一阶导数为零，且二阶导数大于零，那么这个点是极小值点；如果二阶导数小于零，那就是极大值点。这个方法的好处是不用列表分析导数符号的变化过程，计算起来更快捷。

但这个方法有个局限性：二阶导数等于零的时候，二阶判断法就失效了，还得回到第一种方法。比如函数y=x^4在x=0处，一阶导数和二阶导数都是零，但x=0是极小值点。这时候你就得用一阶导数符号来判断了。所以在解题的时候，我建议大家先把两种方法都掌握好，根据题目情况灵活选用。

高考中最常考的几类题型

第一类：基础求值题

这类题目是最基础的，给出一个函数，让你求它的极值点或者极值。解题步骤一般是先求一阶导数，然后找驻点，再判断这些驻点是不是极值点，最后算出极值。看起来步骤不多，但里面有几个容易出错的地方。

第一个易错点是定义域。很多同学求出驻点之后，直接判断就完事了，根本不考虑这个点是不是在定义域内。举个例子，函数在x=0处导数为零，但如果函数在x=0处没有定义，那这个点根本不在考虑范围之内。第二个易错点是端点处理。如果定义域是闭区间，别忘了端点也可能是极值点，虽然端点处导数可能不存在或者不为零，但函数值本身就可能是极值。

第二类：含参数的极值问题

这类题在高考里出现频率很高，难度也相对大一些。题目中会含有一个参数，要求根据极值点的存在情况来确定参数的取值范围。常见的问法有："当函数有且仅有一个极值点时，求参数的范围"或者"若函数在R上无极值点，求参数的取值"。

解决这类问题的核心思路是：把极值点的存在性转化为导数方程的根的存在性问题。比如，如果要求函数只有一个极值点，那就意味着一阶导数对应的方程只有一个实数根（注意这里还要排除导数恒正或恒负的情况）。这时候可以用判别式法、参数分离法，或者利用导函数图像与x轴的交点个数来分析。

在金博教育的课堂上，我们特别强调数形结合的思想。很多抽象的参数问题，如果你能画出导函数的图像，答案就一目了然了。比如导函数是一个二次函数，你要判断它与x轴的交点个数，只需要看判别式就可以了：判别式大于零有两个交点，等于零有一个交点（此时是切点，不是极值点），小于零没有交点（函数单调，无极值点）。

第三类：恒成立与存在性问题

这类题目通常以"对任意x∈D，f(x)≥0"或者"存在x∈D，使得f(x)=k"的形式出现，需要利用极值来解决问题。比如，要证明f(x)≥0对所有x成立，你只需要证明函数的最小值大于等于零就可以了。反过来，如果存在x使得f(x)=k成立，那就是说函数的值域要和k有交集。

这类问题的难点在于转化。很多时候题目不会直接让你求极值，而是把极值信息隐藏在不等式条件中。你需要学会把抽象的数学语言翻译成极值条件。比如"函数f(x)在R上单调递增"其实意味着f'(x)≥0恒成立，而"函数有最小值"则暗示极小值点的存在。

第四类：函数与导数的综合应用

这类题目往往把极值点和函数的其他性质结合起来考，比如函数的对称性、周期性、零点个数等。举个例子，已知函数f(x)满足f'(x)=f(x)+1，且f(0)=0，让你求f(x)的极值。这时候你需要先解微分方程求出f(x)的表达式，再去求极值。

还有一类题是给出函数图像或者导函数图像，让你判断极值点的个数和位置。这种题看起来是图像题，其实考的还是导数和极值的关系。你需要从图像中读取关键信息：导数在哪里为零，导数的符号如何变化，然后综合分析得出结论。

几个常见的易错点

在改作业的过程中，我发现同学们在这类题目上犯错的地方其实很有规律。第一个高频错误是混淆极值点和最值点。极值点是导数为零的候选点，而最值点是整个定义域上函数值最大或最小的点。最值点可能是极值点，也可能是端点，两者不一样。第二个错误是忽略导数不存在的点。函数在尖点处可能取得极值，比如y=|x|在x=0处取得极小值，但x=0处导数根本不存在。所以找极值点的时候，千万别只找驻点，导数不存在的点也要检查。

第三个常见错误是二阶导数符号判断时搞反符号。很多同学背结论的时候记得很清楚，但一紧张就把符号搞反了。我教大家一个记忆技巧：二阶导数表示的是一阶导数的变化率，二阶导数大于零说明一阶导数在变大，原来为零的导数要往正的方向变，函数曲线就是"凹"的，像一个U形，这时候对应极小值。反之，二阶导数小于零就是极大大值。

给同学们的学习建议

学习导数和极值点这部分内容，我建议大家分成三个阶段。第一阶段是把基本概念和定理彻底搞懂，不要死记硬背，要理解背后的几何意义。你可以多画函数图像，把极值点和图像的峰谷对应起来想。第二阶段是大量练习，从基础题做起，逐步过渡到综合题。做题的时候不要只是机械地套公式，每做一道题都要想一想：这道题考查的核心是什么？命题人想让我发现什么？

第三阶段是归纳总结。你需要把做过的题目分类整理，找出同一类题目的共同特点和解题套路。比如含参数的问题，你可以专门整理一个笔记本，把不同形式的参数问题和解法对应起来。这样到了考场上，你一眼就能看出这道题属于哪种类型，该用什么方法。

最后我想说，数学学习确实需要一定的刷题量，但刷题的目的不是记住题目，而是通过练习形成数学思维。导数和极值点这块内容，看起来是在研究函数的变化规律，其实培养的是你用变化眼光看问题的能力。这种能力不仅对高考有用，对你以后学习大学数学甚至从事理工科研究都会有帮助。

如果在学习过程中遇到什么困难，或者想进一步强化训练，欢迎来金博教育和我们交流。我们有专门针对高考数学的辅导方案，可以根据你的具体情况制定学习计划。高三这一年很关键，找对方法、用对资源，才能事半功倍。希望大家都能在高考中取得好成绩，也希望这篇文章对你的学习能有点帮助。