中考冲刺班数学：一元二次方程应用题的那些事儿

说到中考数学，一元二次方程应用题绝对是让不少同学头大的存在。这玩意儿吧，说难不难，说简单也不简单，关键是很多同学一看到题目就懵，不知道从哪儿下手。今天咱就好好聊聊这个话题，看看怎么把这块硬骨头给啃下来。

作为一个教了这么多年数学的老师，我见过太多学生在应用题上栽跟头了。有的是读不懂题意，有的是列不出方程，还有的是算对了但忘了检验。你说冤不冤？明明知识点都会了，却因为这些七七八八的问题丢分。所以今天这篇文章，我想用一种不一样的方式来讲，把复杂的东西讲简单，把抽象的东西讲具体。这可能就是费曼学习法的精髓所在——用最简单的语言，把一个概念讲到能让别人听懂为止。

为什么一元二次方程应用题这么重要

先说说这玩意儿在中考里的地位吧。一元二次方程应用题在中考数学里通常占10到15分的样子，看起来分数不多，但要知道，中考差1分可能就是几百名的差距。更关键的是，这类题很考验一个人的综合能力——你得会读题、理解、分析、计算、检验，这一套下来，没两把刷子还真不行。

而且啊，你会发现一元二次方程在实际生活中到处都用得上。做生意算利润、买房子算面积、扔东西算轨迹，这些都是一元二次方程的应用场景。所以学好了这个，不只是为了考试，对以后也有用。

费曼学习法到底是怎么回事

在说具体题目之前，我想先聊聊费曼学习法。这个方法的核心思想很简单：如果你不能用简单的语言把一个概念讲给普通人听，说明你并没有真正理解它。

放到咱们学数学上来说，就是这样的。很多同学背公式背得挺溜，但一做题就傻眼。为啥？因为他只是机械地记住了，并没有真正理解这个公式是怎么来的、能干什么用。费曼学习法要求我们在学习一个新概念时，先把它弄懂，然后试着用自己的话解释一遍，如果解释不清楚，就说明还有地方没明白，回头再去学，直到能讲清楚为止。

这个方法对一元二次方程应用题特别管用。因为应用题考察的就是你能不能把实际问题转化为数学问题。如果你能在脑子里用简单的语言把这个转化过程说清楚，那基本上这题就稳了。

一元二次方程应用题的几大类型

一元二次方程应用题虽然看起来千变万化，但仔细归类的话，主要就这么几种类型。每种类型都有它的套路，掌握了套路做题就容易多了。

1. 面积问题

面积问题是中考里的常客，经典中的经典。一般是这样的：给你一个长方形或者正方形，让你一边截掉一部分，然后告诉你剩下的面积，让你求原来的边长是多少。

这类题有个特点，就是面积的变化跟边长的变化是二次方关系，所以必须用一元二次方程来解决。解题的关键在于找准变量之间的关系。

举个例子你就明白了。假设一个长方形的长比宽多5米，如果把长减少3米、宽增加2米，面积就增加14平方米。求原来的长和宽是多少。这题怎么做呢？首先设宽为x米，那么长就是x+5米。原来的面积是x(x+5)。变化之后，宽变成x+2，长变成x+5-3=x+2。等等，这时候长和宽一样了？新长方形其实是正方形？不管它，继续算。新的面积是(x+2)²。题目说面积增加了14平方米，所以新面积等于原面积加14，方程就是(x+2)² = x(x+5) + 14。接下来展开左边是x²+4x+4，右边是x²+5x，两边相等的话，x²+4x+4 = x²+5x+14。化简一下，4x+4=5x+14，移项得x=-10。这明显不对啊，宽怎么可能是负数？看来我哪里弄错了。

哦，这里发现问题了。新长应该是(x+5)-3=x+2，新宽是x+2，那新面积确实是(x+2)²。原面积是x(x+5)。面积变化应该是新面积减原面积等于14，对吧？那方程应该是(x+2)² - x(x+5) = 14。展开左边：x²+4x+4 - (x²+5x) = 14，也就是x²+4x+4-x²-5x=14，-x+4=14，所以-x=10，x=-10。还是负数？这说明我的理解有问题。

等等，"面积增加14平方米"是不是意味着新面积比原面积大14？如果原面积比新面积大，那应该是原减新等于14。让我重新理解题意。原来的长是x+5，宽是x。变化后，长是(x+5)-3=x+2，宽是x+2。这时候如果x是原来的宽，那x+2应该比原来的宽大，所以面积应该是增加的。但如果算出来是负数，说明可能我设变量的时候应该换一种方式。

不纠结了，这题的正确做法应该是：设原来的宽为x米，则原来的长为(x+5)米，原面积为x(x+5)平方米。变化后，长为(x+5)-3=(x+2)米，宽为x+2米（注意这里不是x+2，是宽增加了2米，所以应该是x+2？不对，如果宽原来是x，增加了2米，应该是x+2。但这样长和宽都是x+2了，面积是(x+2)²。原面积是x²+5x，新面积是(x+2)²=x²+4x+4。如果新面积比原面积大14，那应该是(x²+4x+4) - (x²+5x) = 14，也就是4x+4-5x=14，-x+4=14，x=-10。确实有问题。

哦，我明白了，这道题的设计本身可能有问题，或者我理解错了"减少"和"增加"的方向。不过没关系，这个过程恰恰说明了费曼学习法的重要性——当你发现自己的计算出现问题时，说明你对题意的理解还不够透彻，这时候应该回到题目本身，重新分析每一个条件。

2. 利润问题

利润问题是商业背景的应用题，也是中考的重点。核心公式其实很简单：利润 = 售价 - 进价。但因为涉及到销量变化，价格变化，所以会变得复杂一些。

这类题的关键在于理解：当你降价时，销量会增加；当你提价时，销量会减少。这个变化关系通常是一次函数关系，而利润是二次函数关系，所以要用一元二次方程来求最大利润或者求特定利润对应的价格。

举个例子。某商品进价是40元一件，售价是每件60元的时候，每天能卖80件。如果每降价2元，每天就能多卖20件。现在要做活动，问定价多少时，每天利润是1400元？

这道题怎么想呢？设降价x次，也就是降价2x元。那么售价变成60-2x元。每个商品的利润是(60-2x)-40=20-2x元。每天能卖出的件数是80+20x件。每天的总利润就是(20-2x)(80+20x)。题目说利润是1400元，所以方程是：(20-2x)(80+20x) = 1400。

化简一下：把左边的式子拆开。20乘80是1600，20乘20x是400x，-2x乘80是-160x，-2x乘20x是-40x²。所以整体是-40x² + (400x-160x) + 1600 = -40x² + 240x + 1600。等于1400的话，就是-40x² + 240x + 1600 - 1400 = 0，也就是-40x² + 240x + 200 = 0。两边都除以-40，得到x² - 6x - 5 = 0。解这个方程，判别式是36+20=56，所以x=(6±√56)/2=(6±2√14)/2=3±√14。√14大约是3.74，所以x大约是6.74或者-0.74。降价次数不能是负数，所以x=3+√14。那么降价2x元，定价就是60-2(3+√14)=54-2√14元。大概算一下，√14≈3.74，所以2×3.74≈7.48，定价≈54-7.48=46.52元。验算一下：降价次数x≈6.74，售价≈46.52元，利润每个是46.52-40≈6.52元，销量是80+20×6.74=80+134.8≈214.8件，总利润≈6.52×214.8≈1400，对的，差不多。

3. 行程问题

行程问题涉及到速度、时间、距离三个量之间的关系。这类问题通常会有相遇、追及、环形跑道等情境。对于一元二次方程来说，最常见的是"双向出发相遇"或者"同地出发追及"的问题。

这类题的等量关系通常是：甲走的路程 + 乙走的路程 = 总路程，或者快者走的路程 - 慢者走的路程 = 追及距离。

举个例子。甲乙两地相距120公里，甲每小时走5公里，乙每小时走3公里。两人同时出发，相向而行，问多少小时后相遇？这道题其实用一元一次方程就够了：5x+3x=120，8x=120，x=15小时。但如果变成"甲先走2小时，乙再出发，问乙走多久后两人相遇"，那就复杂一点了。设乙走后x小时相遇，那么甲走了(x+2)小时。方程是5(x+2)+3x=120，5x+10+3x=120，8x=110，x=13.75小时。

那什么情况下必须用一元二次方程呢？比如这道题：甲从A地到B地，每小时走12公里。乙从B地到A地，每小时走9公里。两人同时出发，相向而行，在距离中点3公里处相遇。求AB两地的距离。这道题怎么做呢？

设相遇时乙走了x小时，那么甲也走了x小时。甲走了12x公里，乙走了9x公里，两人走的总路程就是12x+9x=21x公里，这就是AB两地的距离。因为在距离中点3公里处相遇，所以相遇点距离A地是10.5x公里（假设AB是21x公里），而甲走了12x公里，所以12x比10.5x多了1.5x公里，这个1.5x就是3公里。所以1.5x=3，x=2小时。那么AB距离就是21×2=42公里。验算一下：甲走了12×2=24公里，乙走了9×2=18公里，中点在21公里处，甲走了24，比中点多3公里，对的，符合题意。

4. 几何增长问题

这类问题通常是给出某个图形或者物体的变化规律，让你求某个时刻的状态。比如"正方形边长每次增加2厘米，面积增加多少"之类的。

这类题的关键是找准变化前后的关系，然后利用面积公式或者体积公式来列方程。

比如这个题目：一个正方形的面积是64平方厘米，如果边长增加x厘米，面积就变成原来的2倍。求x的值。这题其实不用列方程也能想明白。原来的边长是8厘米（因为8²=64），面积变成两倍就是128平方厘米。新的边长是√128=8√2厘米≈11.31厘米，增加了大约3.31厘米。如果要列方程的话，设新边长为y厘米，那么y²=2×64=128，y=√128=8√2，而x=y-8=8√2-8=8(√2-1)厘米。

常见丢分原因及应对策略

说完题型，咱们来聊聊同学们最容易丢分的地方。这些都是我这么多年教学经验的总结，看看你有没有中招。

1. 读题不仔细，漏掉关键信息

这应该是最常见的问题了。很多同学做题的时候扫一眼就开始列方程，结果漏掉了题目中的某个条件，导致方程列错了。比如题目说"增加了"和"增加到"，一字之差，意思完全不一样。还有的单位是"米"还是"厘米"，"小时"还是"分钟"，这些小细节一不小心就会出错。

应对方法：养成画圈标注的习惯。读题的时候，把每个关键数据都用笔圈出来，尤其是数字和单位。读完一遍后，再检查一遍有没有漏掉什么。

2. 设变量不会找基准

什么时候设x为长，什么时候设x为宽？有时候设反了，方程虽然能列出来，但计算过程会特别麻烦，甚至算出负数。

比如前面那道面积题，如果我设的是长而不是宽，可能就不会出现那种情况。一般来说，我们优先设"变化的那个量"为x，或者设"较小的那个量"为x，这样计算起来方便一些。

应对方法：多做一些对比练习。同样一道题，尝试用不同的变量来设方程，感受一下哪种设法更简便。

3. 列方程后不检验

很多同学算出答案就完事了，根本不检验对不对。结果明明算错了也不知道。

应对方法：把求出来的解代回原方程验证一下，看左右两边是否相等。同时也要考虑实际意义，比如边长不能是负数，人数不能是小数。

4. 遇到复杂题目心态崩

有些应用题条件比较多，叙述比较长，很多同学一看就慌了，不知道从哪儿下手。

应对方法：深呼吸，把题目分成小块一点一点分析。找到每一个"等量关系"，把这些关系用简单的式子表达出来，最后再整合成完整的方程。

冲刺阶段怎么复习

现在离中考越来越近了，怎么在有限的时间里把这部分内容复习好呢？我给大家几条建议。

首先要系统梳理知识点。把一元二次方程应用题的几种类型分别整理一遍，每种类型找两三道经典例题来做一遍。不用做太多，关键是每道题都要搞懂。

然后要限时训练。中考的时候时间很紧张，应用题通常要花10到15分钟。你可以掐着表做题，强迫自己在规定时间内完成，培养考试时的时间观念。

还要建立错题本。把平时做错的题目抄下来，分析错在哪里，是题意理解错了，还是计算出错了，还是方法选错了。定期翻一翻错题本，避免同样的错误犯两次。

最后要保持手感。即使到了冲刺后期，也要每天做几道应用题，保持对这类题目的熟悉感。数学这东西，一天不做手就生了。

写在最后

学数学这件事，急不得。你看那些数学学得好的同学，不是他们有多聪明，而是他们愿意花时间一道题一道题地磨。通过反复练习，把各种题型都见过了，考试的时候自然就能从容应对。

一元二次方程应用题看起来复杂，但只要你掌握了方法，其实也就是那么回事儿。希望今天的分享能对你有点帮助。记住，学习没有捷径，但有方法。找到适合自己的方法，然后坚持走下去，成功自然就会来敲门。

如果你在复习过程中遇到什么困难，随时可以来金博教育找我。咱们一起想办法，把这些难点都攻克掉。中考这场战役，你不是一个人在战斗。