二次函数图像最值问题，一篇文章给你讲透

说到二次函数，很多初三同学就开始头疼。那些抛物线、顶点、对称轴……绕来绕去的概念确实让人眼花缭乱。但今天咱们不玩虚的，就盯着一个核心问题讲——二次函数的图像到底怎么找最大值和最小值。这个问题在中考里出现的频率有多高呢？这么说吧，几乎每年的压轴题都会涉及到，会与不会，分差能拉开十几二十分。你说重不重要？

在金博教育的一对一辅导里，我见过太多学生在这块栽跟头了。不是他们不努力，而是教材上讲得太干巴巴的，老师课堂上也没时间细细掰开揉碎讲。没关系，今天这篇文章，我用最接地气的方式，把二次函数最值问题给你讲得明明白白。

一、先搞明白：二次函数的图像到底是啥样？

在学习最值之前，咱们得先搞清楚二次函数的图像长什么样。二次函数的一般式是 y = ax² + bx + c（这里a不能等于0）。当a≠0时，这个函数的图像是一条抛物线。啥叫抛物线？你把篮球扔出去，它走的那条弧线，差不多就是抛物线的样子。

抛物线有几个关键特点，你必须记住：

• 它长得特别对称，像一个人张开双臂站在那里，左右的形状一模一样
• 它有一个最高点或者最低点，这个点叫做顶点
• 顶点就是抛物线的"转折点"，到了这儿，曲线就要往回走了

你说这顶点厉不厉害？它就是我们找最值的关键中的关键。整个二次函数的最值，就藏在顶点里。

二、顶点和最值到底是啥关系？

现在你可能要问了：顶点跟最大值、最小值有啥关系呢？关系大了去了。

我给你打个比方。你想象自己站在山顶上看风景，这个山顶就是整座山的最高点。不管你往哪个方向走，都是下坡路。同样的道理，当二次函数的抛物线开口向下（也就是a＜0）时，顶点就是抛物线的最高点，这时候函数有最大值，但没有最小值——因为抛物线可以无限向下延伸，y值可以无限小。

反过来，如果抛物线开口向上（也就是a＞0），那顶点就是抛物线的最低点。这时候函数有最小值，但没有最大值——y值可以无限变大。

这个规律你可以这样记：a正开口向上，顶点就是最低点；a负开口向下，顶点就是最高点。朗朗上口，方便记忆。

三、怎么找顶点？手把手教你两种方法

方法一：公式法（考试时最常用）

既然顶点这么重要，那到底怎么求它呢？数学家早就给我们准备好了公式。你看好了：

对于二次函数 y = ax² + bx + c，顶点的横坐标（也就是x坐标）用这个公式：

x = -b/(2a)

然后，把这个x值代回原函数，算出来的y值就是顶点的纵坐标。

举个例子吧。假设我们有这样一个函数：y = 2x² - 4x + 1。那a=2，b=-4，c=1。顶点的x坐标就是 -(-4)/(2×2) = 4/4 = 1。然后代入x=1，y=2(1)² - 4(1) + 1 = 2 - 4 + 1 = -1。所以顶点坐标是(1, -1)。因为a=2>0，开口向上，所以这个函数的最小值就是-1。

方法二：配方法（适合理解原理）

公式法虽然快，但有些同学可能更想知道这里面的门道。这时候配方法就派上用场了。

配方法的核心思想是把二次函数变形，变成一个"完全平方加上一个常数"的形式。咱们还是用上面那个例子来演示：

y = 2x² - 4x + 1

先把系数a提出来：y = 2(x² - 2x) + 1

括号里面，x² - 2x，配方要加1再减1：y = 2(x² - 2x + 1 - 1) + 1 = 2[(x-1)² - 1] + 1 = 2(x-1)² - 2 + 1 = 2(x-1)² - 1

你看！现在这个式子太清晰了：y = 2(x-1)² - 1。无论x取什么值，(x-1)²都是大于等于0的，所以2(x-1)²也是大于等于0的。那么整个式子的最小值就是当(x-1)²=0的时候，也就是x=1的时候，y=-1。最大值呢？不存在的，因为x可以无限大，y也可以无限大。

这个配方法的好处在于，它让你直观地看到最值是怎么来的。为啥会有最小值？因为那个平方项最小只能是0，所以整个式子就被"卡"在了一个下限上。同理，如果二次项系数是负的，整个式子就被"卡"在了一个上限上。

四、实际解题中的应用场景

光知道理论还不够，咱们得会做题。二次函数最值问题在中考里主要有几种考法，我给你梳理一下。

场景一：直接问最值

这种题目最简单，直接给你一个二次函数，让你求它的最大或最小值。你只需要两步：先求顶点坐标，然后根据a的正负判断是最大值还是最小值。

比如题目给你 y = -x² + 6x + 2。那a=-1，b=6，c=2。顶点x坐标 = -6/(2×-1) = 3。代入得y = -(3)² + 6×3 + 2 = -9 + 18 + 2 = 11。因为a<0>

场景二：实际问题中的最值

这种题目才是真正考验功力的。它会给你一个生活场景，比如围一个矩形鸡圈、做个无盖盒子、定价销售之类的，你需要先建立二次函数模型，再求最值。

我出一道经典的题给你感受一下。用一根20米长的铁丝围成一个矩形，矩形的面积最大是多少？

设矩形的长是x米，那么宽就是(20-2x)/2 = 10 - x米。面积S = x(10 - x) = 10x - x²。这是一个二次函数，a=-1，b=10。顶点在x = -10/(2×-1) = 5。这时候宽也是10-5=5米。最大面积S = 10×5 - 25 = 25平方米。

你看，这道题的坑在于：很多人列不出正确的二次函数式，或者列对了但不会求顶点。如果你刚才觉得有点吃力，别担心，这种题在金博教育的一对一课堂上，我们会通过大量练习让你形成"条件反射"。

场景三：给定自变量范围的求最值

还有一种情况，自变量x不是随便取的，它有一个取值范围。这时候情况就复杂一些了——顶点可能在范围内，也可能在范围外。

举个例子。二次函数y = x² - 2x + 3，x的定义域是0≤x≤3。顶点在x=1处，这个点在定义域内，所以最小值是x=1时的y值=1-2+3=2。最大值呢？就得看端点了。x=0时y=3，x=3时y=9-6+3=6，所以最大值是6。

再假如定义域是2≤x≤4呢？顶点在x=1，不在定义域内。因为a>0开口向上，函数在定义域内单调递增，所以最小值在x=2处，最大值在x=4处。

这种题目特别容易出错，很多同学会忘记检查顶点是否在定义域内，直接无脑拿顶点算。考场上这么丢分，多亏啊。

五、常见误区盘点，看看你有没有中招

在这么多年的教学里，我总结了同学们最容易踩的几个坑，一定要看看自己有没有这些问题。

这些坑，我自己在学生时代也踩过不少。后来教学生才发现，原来大家犯的错误都差不多。所以你现在踩坑了，不用太焦虑，关键是要正视它、解决它。

六、学习建议：怎么把这块内容真正吃透？

二次函数最值这块内容，说难不难，说简单也不简单。关键在于你是否真正理解了背后的逻辑，而不是死记硬背公式。

我的建议是这样的。首先，画图意识一定要有。每次拿到一个二次函数，不管要不要画图，你都在脑子里或者草稿纸上画个简图。开口朝哪？顶点在哪儿？大概长什么样？你把图画出来，很多问题就一目了然了。

其次，理解比记忆更重要。公式你可以暂时记不住，但你得理解为什么顶点是最高点或最低点。为啥a正就开口向上？把这些道理想通了，公式根本不用刻意去背，它就长在你脑子里了。

最后，一定要多练。数学这东西，看十遍不如做一遍。各种类型的题目都要接触到，见多了自然就熟练了。而且要准备一个错题本，把做错的、卡壳的题目整理下来，定期翻看。

如果你自己在家捣鼓半天还是搞不明白，那可能需要有人点拨一下。金博教育的一对一九年级数学辅导，的老师会根据你的具体情况，找出你的薄弱环节在哪里，然后针对性地给你讲解和练习。这种个性化的辅导方式，往往比大班课效率高很多——毕竟大班课要照顾所有人，不可能每个人都顾得上。

写在最后

二次函数的最值问题，说到底就是顶点的问题。你把顶点找对了，把a的符号搞清楚了，基本上就没什么难的了。考试的时候，细心一点，分就到手了。

学习数学这件事，急不得。你今天看不懂的地方，可能明天突然就开窍了。关键是不要放弃，不要假装自己会了。知识这东西，来不得半点虚假。

如果你在学习过程中遇到什么困惑，欢迎随时来金博教育坐坐，咱们当面聊。数学这东西，面对面讲起来效率更高，你哪里卡住了，我一眼就能看出来，然后针对性地帮你打通。期待和你的见面！