初三数学一对一补课：圆内接四边形性质的那些应用门道

说实话，圆内接四边形这块内容，初三学生在第一次接触的时候往往会有点懵。你想啊，四边形就四边形，圆的半径、半径的，怎么突然就扯上关系了？那些性质定理看起来还挺多，证来证去的，头都大了。我在一对一补课过程中发现，很多孩子并不是学不会，而是没找对方法。今天咱就聊聊这个话题，顺便说说金博教育在辅导这部分内容时的一些心得体会。

先搞明白：啥是圆内接四边形？

其实定义本身不难理解。想象一下，你手里有个圆，然后用四根线段围成一个四边形，要是这四个顶点都刚好落在圆周上，那这个四边形就叫做圆的内接四边形。听起来是不是挺简单的？

但问题来了，为啥课本上要专门讲这个知识点呢？因为这类四边形藏着一套非常漂亮的性质规律，掌握了这些规律，解题的时候就像找到了捷径。

我在金博教育带过不少初三学生，他们普遍反馈说，初二的时候学三角形的外接圆、内切圆已经有点吃力了，结果初三又来一个圆内接四边形，感觉知识点一层套一层。其实吧，这些内容之间是有联系的。三角形可以看作是三个顶点的特殊"四边形"，当你在圆上取四个点的时候，天然就形成了四组弧、四组圆周角，它们之间的数量关系自然就产生了。

圆内接四边形的核心性质，都在这里了

这部分是考试的重点，也是同学们最容易混淆的地方。我建议先别急着死记硬背，把每条性质背后的道理搞清楚，你发现其实它们都是相通的。

最重要的性质：对角互补

这条性质必须刻在心里：圆内接四边形的两组对角，分别加起来都等于180度。啥意思呢？假设四边形ABCD内接于圆，那么角A加角C等于180度，角B加角D也等于180度。

怎么记最不容易忘？你可以在脑子里画个图。圆周上的四个点，把圆周分成了四段弧。每一条弧都对应着一个圆周角，而圆周角有个特点：它等于所对弧度数的一半。那么当你看四边形的一个内角的时候，实际上看的是两个相邻弧的组合。同理，相邻的内角看的也是这两个弧的组合。加来加去，刚好把整个圆周角360度给分成了两半，所以对角互补。这个解释可能稍微抽象了一点，但理解之后再也不会忘了。

常考的延伸性质：外角等于内对角

这个性质用起来特别爽。啥意思呢？四边形的一个外角，等于它的内对角。拿刚才的四边形ABCD来说，角D的外角就等于角B，反过来也一样。

这个性质证明起来也不难。角D的外角和角D本身是邻补角，加起来180度。而根据对角互补，角B也和角D加起来180度。这一等，自然就相等了。很多选择题和填空题用这个性质可以快速出答案，根本不用算。

其他几个值得注意的小性质

除了上面两条主干性质，还有几个小规律也要留意。比如，圆的弦相等的话，所对的圆周角也相等，这个在平行四边形那章其实就学过了，但放到圆内接四边形里同样适用。再比如，同底边的两个圆内接四边形，要是它们在圆的同一侧，那么面积之比等于高之比。这个性质偶尔会在求面积的题里用到。

下面这个表格把主要性质做了一个汇总，大家可以保存下来做题的时候参考：

这部分知识点怎么考？你得心里有数

知道了性质是一回事，会做题是另一回事。我带一对一课程的时候，通常会先让学生做几道典型题，看看他们卡在哪个环节。总的来说，中考里考圆内接四边形主要有这么几种考法。

第一类：直接求角度

这类题算是送分题了。题目给个圆内接四边形，然后告诉你其中两个角的度数，让你求另外两个角。解题套路特别明显：先判断已知角和未知角是不是对角关系，再决定用不用对角互补。举个例子，要是告诉你角A是70度，求角C，那直接写180减70等于110度，连草稿纸都不用。

不过要注意，有时候题目不会直接把四边形标成ABCD，而是换个字母顺序，或者把四边形画成特殊形状比如梯形、平行四边形。这时候别慌，先找出哪两个角是对角，再套用性质。

第二类：证明题里的常客

证明题里经常出现圆内接四边形的身影，而且往往和其他知识点混在一起。比如让你证明某个四边形是平行四边形，这时候如果能证明它有一组对角互补，往往就成功了一半。再比如证明两条线段相等，有时候需要构造圆内接四边形，利用等弦对等角的性质。

这类题有个特点：条件通常不会直接告诉你"这是一个圆内接四边形"，而是需要你自己去发现。比如告诉你四个点都在同一个圆上，或者告诉你某个角等于它的外角，这些都暗示着圆内接四边形的存在。金博教育的老师在讲这类题的时候，会特别强调"读题找暗示"这个技巧。

第三类：综合应用题

这类题难度就大一些了，往往需要用到托勒密定理或者和其他几何知识联动。托勒密定理说的是，圆内接四边形两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和。这个公式记起来稍微有点麻烦，但用对了地方解题速度能快不少。

我建议在掌握前两类题的基础上，再来处理综合题。一口吃不成胖子，基础扎实了往上走才稳当。

一对一补课，怎么学效果最好？

说实话，圆内接四边形这部分内容，学校里大班授课的效果往往不太理想。原因是这块内容需要学生有一定空间想象能力，而每个学生的思维方式又不太一样。有人喜欢画图分析，有人喜欢代数推导，有人需要老师多举几个例子才能开窍。在金博教育做一对一辅导的时候，我们就特别注意因材施教。

首先，基础必须打牢。很多孩子学不好的原因不是后面听不懂，而是前面定义就没搞清楚。我们会让学生自己动手画几个圆内接四边形，画着画着，四个顶点在圆周上的那种"卡住"的感觉就出来了。纸上谈兵不如动手实践，这个方法对空间感弱的孩子特别管用。

其次，题要精做，不是多做。市面上练习册那么多，全部做完根本不现实。我们的做法是挑典型题，一道题讲透为止。比如有一道关于外角等于内对角的证明题，我们可能会用三种不同的方法解给孩子看，让他体会不同思路的妙处。同一道题吃透了，比囫囵吞枣做十道都强。

第三，定期回顾，别学过就忘。圆内接四边形的性质和前面学的圆、三角形、四边形都有联系，长时间不复习容易生疏。我们会让学生准备一个错题本，定期把做过的题翻出来看看。错题本不需要把整道题抄下来，写清楚错哪儿了、正确的思路是什么就行。

另外我想说，学习这件事急不得。有些孩子因为马上要中考了，恨不得一周就把所有知识点都学会，结果欲速则不达。踏踏实实把每一块内容学透，比囫囵吞枣强百倍。金博教育的老师都明白这个道理，所以我们从来不会为了赶进度而忽视学生的实际掌握情况。

写在最后

圆内接四边形这个知识点，说难不难，说简单也不简单。关键在于你是不是真的理解了那些性质背后的逻辑，而不是机械地背公式。当你能够自己推导出来对角为什么互补、外角为什么等于内对角的时候，你会发现数学其实是一门很有意思的学科，它讲究的是逻辑和因果。

如果你或者孩子在学习这部分内容的时候遇到了困难，不妨换个方式试试。有时候换个人讲，换个思路想，原本想不通的地方突然就通了。这大概就是一对一补课最大的价值所在——找到最适合你的那把钥匙。

学习几何需要耐心，也需要方法。希望这篇文章能给你带来一点启发。圆内接四边形的世界，其实挺精彩的。