那些年被十字相乘法折磨过的同学们，后来都怎么样了

说实话，我到现在都记得当年第一次接触十字相乘法时的情景。数学老师在黑板上写得飞快，嘴里说着"把常数项拆成两个数，交叉相乘之和等于一次项系数"，而我坐在底下，眼睛盯着那些数字，脑子里一团浆蜜。

相信很多初中生都有类似的经历。明明因式分解看起来就差那么一点，可就是卡在最后那一步，怎么都凑不出正确的数字。这种感觉特别让人泄气，明明题目看起来并不难，怎么就是想不出来呢？

其实吧，十字相乘法这件事，光靠死记硬背公式真没用。我见过太多学生把"ax²+bx+c=(px+q)(rx+s)"背得滚瓜烂熟，一到做题还是傻眼。关键在于理解背后的逻辑，还有大量针对性的练习。今天咱们就掰开了、揉碎了，好好聊聊这个让无数初中生头疼的十字相乘法到底怎么学。

为什么十字相乘法这么重要

在初中数学里，因式分解绝对是个重头戏。而十字相乘法呢，堪称因式分解里的"通关BOSS"。你想想看，后面的二次函数、一元二次方程、配方法，基础都是因式分解。如果这一关过不去，后面学起来会更加吃力。

更重要的是，考试时候因式分解的题目分值都不低。有时候一道题就是七八分，一步错了后面全白写。我带过的学生里，有好几个都是因为因式分解卡壳，数学成绩一直上不去。后来把十字相乘法搞明白了，成绩立刻有了明显提升。

所以啊，这块硬骨头必须啃下来。而且我可以负责任地说，十字相乘法一旦开窍了，真的会有一种"打通任督二脉"的感觉。以前觉得难的题目，现在看起来也就那么回事。

十字相乘法的核心原理

咱们先不说那些抽象的公式，聊聊十字相乘法到底想干嘛。其实说白了，就是把一个复杂的二次三项式拆成两个一次式的乘积。

你还记得小时候学过的乘法分配律吗？比如(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd。十字相乘法其实就是把这个过程反过来。已知ac+ad+bc+bd的结果，反过来找a、b、c、d这四个数。

具体来说，对于ax²+bx+c这个多项式，我们要把a拆成p和r，把c拆成q和s，然后让p×s + q×r = b。这个过程之所以叫"十字相乘"，是因为在草稿纸上画出来是一个十字形状：上面写p和r，下面写q和s，交叉相乘再相加。

举个例子可能会更清楚。比如x²+5x+6，我们要把6拆成两个数，乘积是6，相加是5。那显然是2和3，所以(x+2)(x+3)=x²+5x+6。简单吧？

但系数不是1的时候，情况就复杂一些。比如2x²+5x+2，这时候a=2，不是1了。我们需要把2拆成1和2，把2拆成1和2，然后十字相乘：1×2 + 2×1 = 4，不对，应该是5。哦，应该是1和2，还有1和2，但交叉相乘是1×2 + 2×1 = 4，还差1。等等，我好像算错了——应该是把2x²拆成1x和2x，把常数项2拆成1和2，然后1x×2 + 2x×1 = 2x + 2x = 4x，还是不对。哦对，应该是1x和2x是竖着写，上面是1和2，下面是2和1，交叉相乘1×1 + 2×2 = 1+4=5，对了！所以是(1x+2)(2x+1)=2x²+x+2x+2=2x²+5x+2。

第一步：把二次项系数拆开

这是最关键的一步，也是最容易出错的地方。二次项系数a通常会有几种拆分方式，比如a=1×a，或者a=2×(a/2)，等等。一般来说，我们会优先考虑常见的因数组合。

举个例子，如果a=6，那么可能的拆分有：1和6、2和3、3和2、6和1。如果a=8，那可能是1和8、2和4、4和2、8和1。你看，2和4往往是比较理想的选择，因为数字小，好计算。

不过呢，这也不是绝对的。有时候题目设置得巧，可能需要试几次才能找到正确的组合。我个人的经验是，先从因数对的中位数开始试。比如a=12，与其先试1和12，不如先试试3和4或者4和3，因为它们更接近12的平方根，计算起来交叉相乘的结果通常不会太离谱。

第二步：把常数项拆开

常数项c的拆分相对更灵活一些，因为它的拆分方式通常更多。除了正数因数，还要考虑负数因数的情况。这一点特别重要，很多同学会忘记负数的可能性，导致怎么都凑不出正确答案。

比如x²-5x+6，常数项是6，但如果我们只考虑正数拆分，2和3相加是5，不是-5。这时候就必须想到，6可以拆成(-2)和(-3)，这样(-2)+(-3)=-5，十字相乘就成立了。所以(x-2)(x-3)=x²-5x+6。

再比如x²+3x-4，常数项是-4，这时候至少有一个因数必须是负的。可能的情况有：1和-4、-1和4、2和-2、-2和2。试一下，1和-4的话，交叉相乘1×(-4)=-4，再加上另一个组合，假设二次项拆成1和1，那1×(-4)+1×(?)，不对。换一种，二次项1和1，常数项4和-1，那么1×(-1)+1×4=-1+4=3，对了！所以是(x+4)(x-1)=x²+3x-4。

第三步：交叉相乘看结果

把二次项拆成的两个数写在横线上面，把常数项拆成的两个数写在横线下面，然后对角相乘再相加，得到的结果应该等于一次项系数b。

如果结果不对，就换一组常数项的拆分方式，再试。如果把所有可能的组合都试过了还是不行，那可能需要检查一下前面二次项的拆分是不是应该换一种。

这个"试"的过程确实有点让人烦躁，但我必须告诉你一个真相：即便是数学老师，做十字相乘法的时候也在不断尝试。这不是什么丢脸的事，而是正常的解题过程。那些号称"一眼就能看出答案"的人，要么是题目做多了有了直觉，要么就是在你看不见的地方默默尝试。

常见题型与解题示范

基础款：系数为1的二次三项式

这是最简单的情况，公式可以简化为x²+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)。也就是说，我们只需要把常数项拆成两个数，让它们相加等于一次项系数。

比如x²-7x+12。12的因数对有：1和12、2和6、3和4，还有它们的负数组合。相加等于-7的组合是-3和-4，因为(-3)+(-4)=-7，而(-3)×(-4)=12。所以(x-3)(x-4)=x²-7x+12。验证一下：(x-3)(x-4)=x²-4x-3x+12=x²-7x+12，完全正确。

再练一个：x²+2x-15。15的因数对有1和15、3和5，还有负数组合。要求相加等于2，那应该是3和-5，因为3+(-5)=-2，不对。哦，应该是-3和5，(-3)+5=2，而且(-3)×5=-15，对了。所以(x-3)(x+5)=x²+2x-15。验证：(x-3)(x+5)=x²+5x-3x-15=x²+2x-15，没错。

进阶款：系数不为1的二次三项式

当二次项系数不是1的时候，难度会明显上升。这时候需要同时考虑二次项和常数项的拆分，两边都要试。

比如3x²+8x+4。我们来拆拆看。二次项3可以拆成1和3。常数项4可以拆成1和4、2和2、4和1，还有负数组合。

先试1和3在上面，1和4在下面：1×4 + 3×1 = 4+3=7，不对。

换1和3在上面，4和1在下面：1×1 + 3×4 = 1+12=13，更不对。

常数项换2和2试试：1和3在上面，2和2在下面。1×2 + 3×2 = 2+6=8，对了！所以(1x+2)(3x+2)=3x²+2x+6x+4=3x²+8x+4。完美。

再来看一个有难度的：6x²+x-15。二次项6的拆分有1和6、2和3。常数项-15的拆分有很多：1和-15、3和-5、5和-3、15和-1，还有各自交换位置。

先试二次项拆成2和3。上面的2和3，下面试3和-5：2×(-5)+3×3=-10+9=-1，不对。

下面换5和-3：2×(-3)+3×5=-6+15=9，也不对。

再换1和-15：2×(-15)+3×1=-30+3=-27，差远了。

二次项换一种拆法试试，1和6在上面。下面试3和-5：1×(-5)+6×3=-5+18=13，不对。

下面试5和-3：1×(-3)+6×5=-3+30=27，也不对。

常数项换15和-1试试：1×(-1)+6×15=-1+90=89，完全不对。

等等，我是不是漏了什么？6x²+x-15，系数是+1。刚才常数项用3和-5得到的是-1，如果我把常数项换成-3和5呢？试一下：1和6在上面，-3和5在下面。1×5 + 6×(-3)=5-18=-13，还是不对。

哦！应该把二次项拆成3和2，常数项拆成-5和3。试一下：3和2在上面，-5和3在下面。3×3 + 2×(-5)=9-10=-1。差1。

常数项换一下，-3和5：3和2在上面，-3和5在下面。3×5 + 2×(-3)=15-6=9，也不对。

常数项用5和-3：3和2在上面，5和-3在下面。3×(-3)+2×5=-9+10=1，对了！所以是(3x+5)(2x-3)。验证：(3x+5)(2x-3)=6x²-9x+10x-15=6x²+x-15。成了！

你看，这道题确实花了我一些时间试错。但最终找到了正确答案，这个过程本身就是学习的一部分。

综合款：复杂的四项式

有的时候，题目会是ax²+bx+c这种形式，但系数比较大，或者有公因数需要先提出来。不过这个我们后面再聊，先把基础的十字相乘练熟。

那些年我们踩过的坑

教了这么多年学生，我发现大家在十字相乘法上犯错的地方其实很集中。把这些坑列出来，希望你能躲得远远的。

第一个坑：忘记常数项可能是负数。这一点我刚才强调过，但还是要再说一遍。很多同学看到常数项是正的，就默认拆分出来的两个数也都是正的，完全不考虑负数的可能性。比如x²-5x+6，如果你只试正数拆分，永远都凑不出-5这个结果。

第二个坑：急于求成，第一次尝试失败就放弃。十字相乘法本质上就是一个试错的过程。我前面演示的那道6x²+x-15，如果你第一次试错了就认为自己"不会"，那也太可惜了。每一次尝试都是加深理解的机会，就算这次没试对，下次你就知道该往哪个方向试了。

第三个坑：计算粗心，交叉相乘加错了。这个太常见了。明明拆分是对的，结果算错了。或者符号搞错了，正负号搞混了。建议大家每次算完之后都把结果乘回去验证一下，花不了几秒钟，但能避免很多低级错误。

第四个坑：题目有公因数的时候直接用十字相乘。比如4x²-4x-3，如果你直接拆，可能很难凑。但如果你先观察一下，哦，4、4、3没有共同的因数，那没问题，可以直接用。但如果像6x²+9x+3这样，明显都有3这个因数，就应该先提出来，变成3(2x²+3x+1)，然后再对括号里面的部分用十字相乘。这样题目会简单很多。

常见错误类型统计

怎么练习最有效

说了这么多技巧，最后还是要落到练习上。没有足够的练习，什么方法都是纸上谈兵。但练习也要讲究方法，不是盲目刷题。

我的建议是从简单题开始，先把基础款练熟练透。不要觉得简单就不屑于做，那些看似简单的题目，其实是在帮你建立直觉。等你把x²+bx+c这种系数为1的题目做到"一看就知道怎么拆"的程度，再去挑战系数不为1的题目。

然后要建立自己的"试错本"。不是错题本，是试错本。把你尝试过的题目，特别是那些花了很多时间才做出来的题目，记录下来你尝试过的拆分组合。这样下次遇到类似题目，你可以有个参考，不用每次都从零开始。

还有很重要的一点，做完之后一定要验证。十字相乘法的验证特别简单，把结果展开看是不是等于原式就行。很多时候你觉得做对了，其实展开后发现多了或者少了什么。如果每次都能验证，你会发现自己的准确率越来越高。

如果做完这些还有困难，不妨找老师或者同学讨论一下。有时候别人一句话就能点破你卡了很久的地方。在金博教育的辅导过程中，我们就发现很多学生其实已经非常接近正确答案了，只需要有人推一把就能豁然开朗。

写在最后

十字相乘法这件事，确实需要时间才能真正掌握。一开始可能会觉得特别难，每次做题都像在碰运气。但只要你坚持练习，不断总结，慢慢地就会发现那些看似复杂的题目开始变得有章可循。

我想说的是，学习数学从来没有捷径，但一定有方法。十字相乘法表面上是在拆分数字，实际上是在训练你的逻辑思维和试错能力。这种能力不仅对数学有用，对以后学习其他科目、解决其他问题都会有帮助。

所以，下次再遇到十字相乘的题目，不要害怕，不要逃避。静下心来，列出可能的拆分组合，一个一个试过去。总会有成功的那一天。到那时，你回头看，会发现那些曾经让你头疼的题目，其实也就是那么回事。