中考数学因式分解：一对一辅导中那些真正管用的技巧

说实话，因式分解这个知识点，真的是让无数初中生和家长头疼的存在。每次考试结束，总有孩子和家长跟我说："老师，这道因式分解的题目，我明明觉得自己会做的呀，怎么就是做不出来呢？"说实话，这种感觉我太理解了。因为因式分解它不像计算题那样按部就班，它更像是一个需要"找感觉"、找突破口的神秘游戏。

在金博教育多年的一对一辅导实践中，我发现很多孩子学不好因式分解，根本不是智商的问题，而是方法没找对。他们在课堂上听老师讲例题，觉得自己懂了，但是换一道题就不会了。这种"一听就会，一做就废"的情况，根源在于孩子们没有真正理解因式分解的底层逻辑。今天这篇文章，我想跟正在备战中考的孩子们和家长们聊聊，在一对一辅导中，我们是怎么把因式分解这个"拦路虎"变成"送分题"的。

为什么因式分解总是丢分？先找到问题所在

在正式讲技巧之前，我们得先搞清楚一个问题：因式分解到底难在哪里？说实话，这个问题我问过无数个孩子，答案出奇地一致——"不知道该用哪种方法"。提取公因式看起来好像能用，但是提取完了之后不知道下一步怎么办；公式法背得滚瓜烂熟，但是看到题目完全对应不上；分组分解更是让人摸不着头脑，不知道怎么分组才算对的。

这种困惑我很理解。说白了，因式分解就像是一把锁，而不同的方法就是不同的钥匙。问题在于，孩子们手里有一串钥匙，但是不知道哪把钥匙能打开眼前这把锁。更糟糕的是，有时候一道题可能需要好几把钥匙配合使用，这就更让人崩溃了。

在一对一辅导中，我们做的第一件事不是急着讲方法，而是帮孩子建立一个清晰的"因式分解思维地图"。这个地图就像是一个导航系统，看到题目之后，孩子能快速定位应该往哪个方向走，而不是在原地发呆。下面这张表格，是我们总结的因式分解方法与适用场景的对照表，建议大家保存下来慢慢看。

这张表格看起来简单，但是背后的逻辑是：在面对一道因式分解题目时，首先要做的不是直接上手做，而是先"望闻问切"——观察题目具备什么特征，然后对号入座选择对应的方法。这个思路转变，看起来只是一个小小的变化，但是能解决很大一部分"不知道怎么做"的困惑。

最基础也最重要的技巧：提取公因式

说到因式分解最基础的方法，那肯定是提取公因式。这个方法听起来太简单了是不是？很多孩子觉得这个我早就会了，根本不用学。但问题恰恰出在这里——越简单的东西，越容易因为"觉得自己会"而忽略细节。

我给大家讲个真实的例子。之前有个孩子，每次考试因式分解都要扣分，我一看他的卷子，发现他提取公因式这一块就丢了三分之二的分数。为什么？不是他不会提取，而是他经常漏提取或者错提取。比如这样一个题目：3ab² - 6a²b + 9ab，他提完公因式之后写成3ab(b - 2a)，直接把第三项的b给搞丢了。这种错误，说实话，就是基本功不扎实的表现。

在一对一辅导中，我们对提取公因式这个方法有"三步检验法"。第一步，看系数——所有系数能不能找到一个大于1的公约数；第二步，看字母——出现的字母是不是每一项都有；第三步，看指数——对于每个字母，取出现在所有项中的最小指数。这三步走下来，基本上就能保证提取公因式不会出错。更重要的是，每做完一步，我们都会让孩子自己检验一遍：把提取后的结果展开，看看和原式是不是一样。这个小习惯，能避免大部分低级错误。

公式法的活学活用：不是死记硬背

接下来我们说说公式法。平方差公式a² - b² = (a + b)(a - b)和完全平方公式a² ± 2ab + b² = (a ± b)²，这两个公式孩子们背得比谁都熟，但是真正用起来的时候，往往是"眼睛学会了，手还没学会"。

问题出在哪里呢？问题出在孩子们只记住了公式的字母形式，没有把公式"翻译"成数字形式。比如看到16x² - 25y²，很多孩子知道这是平方差，但是会纠结：哪个是a，哪个是b？然后就开始犯晕，最后乱写一通。正确的思路应该是这样：先把16x²看成(4x)²，把25y²看成(5y)²，然后直接套用公式，答案就是(4x + 5y)(4x - 5y)。

在一对一辅导中，我们会让孩子做一种特殊的练习——"看式子说公式"。随便给一个式子，孩子要在三秒内说出这个式子符合哪个公式的特征。这种练习做多了，孩子对公式的敏感度会大幅提升，看到题目不用想太多，公式自动就"浮现在眼前"了。

另外，完全平方公式有个常见的变体需要注意：a² + b² + 2ab这种标准形式当然一眼就能看出来，但是如果是a² + 2ab + b² - c²这种复合形式，孩子往往就傻眼了。其实仔细看看，这不就是先变成完全平方式，再用平方差公式吗？这种"嵌套使用"的能力，是中考因式分解考察的重点，也是孩子们需要重点突破的方向。

十字相乘法：这个才是真正的大 Boss

如果说提取公因式和公式法是因式分解的"入门关"，那十字相乘法绝对可以称得上是"进阶Boss"了。这个方法让无数孩子闻风丧胆，甚至有些老师直接告诉学生："考试时如果想不出十字相乘，就用配方法或者求根公式吧。"这话听起来像是给学生留后路，实际上是放弃了十字相乘这个简便方法。

十字相乘法到底难在哪里？我观察下来，主要有两个障碍。第一个障碍是心理障碍——很多孩子觉得十字相乘太复杂，一看就头疼，根本不愿意去尝试。第二个障碍是方法障碍——即使鼓起勇气去试，也不知道该怎么"拆"系数，尝试几次不对就放弃了。

在金博教育的一对一辅导中，我们解决这两个障碍的方法很特别。首先，我们告诉孩子，十字相乘其实就是你小时候玩过的"拼图游戏"。举个例子，比如x² + 5x + 6这个式子，我们要把它拆成两个一次式的乘积。直觉告诉我们，应该是(x + 2)(x + 3)，因为2乘3等于6，2加3等于5。十字相乘的原理其实就是这样，只不过当系数不是1的时候，你需要把系数也拆进去。

我们有一个"三步十字法"专门训练这个能力。第一步，把二次项系数和常数项分别拆成两个数的乘积；第二步，把拆出来的四个数按十字交叉排列，使得交叉相乘的和等于一次项系数；第三步，如果找不到这样的组合，就说明这道题不能用十字相乘，需要换其他方法。这三步听起来简单，但是需要大量练习才能形成直觉。

我给大家出一个练习题：分解2x² + 7x + 3。按照三步十字法，第一步把2拆成1×2，把3拆成1×3；第二步排列成十字，尝试1和3交叉、2和1交叉，加起来是3+2=5，不对；换过来1和1交叉、2和3交叉，加起来是1+6=7，对了！所以正确答案是(2x + 1)(x + 3)。这种方法一旦练熟，十秒钟就能做出一道题，比配方法快多了。

分组分解和配方法：进阶技巧详解

说完了十字相乘，我们再来聊聊分组分解法。这个方法通常是四项或更多项的式子使用，核心思路是"化繁为简"——把复杂的大式子拆成几个小部分，每个部分分别处理，最后再整合起来。

分组分解的关键在于"怎么分组"。这个其实没有什么万能公式，更多是靠经验和尝试。但我可以分享一个小技巧：拿到四项式的时候，优先尝试"两两分组"。比如ax + ay + bx + by，很自然地分成(ax + ay)和(bx + by)，每组都有公因式可以提取，提取完之后又有了新的公因式，这样就能分解下去了。

配方法呢，在因式分解里用得相对少一些，但却是解决某些难题的"杀手锏"。比如当你面对一个看似无法分解的二次三项式时，配方法往往能柳暗花明。配方法的核心思想是"无中生有"——通过添加和减去某一项，把普通式子变成完全平方式，然后再结合平方差公式或者其他方法进行分解。

举个例子，分解x² + 6x + 7。直接看好像没办法分解，但是配方法可以这样操作：x² + 6x + 9 - 9 + 7 = (x + 3)² - 2，然后套用平方差公式，得到(x + 3 + √2)(x + 3 - √2)。虽然涉及到无理数，但在某些题目中这是正确的分解方式。

一对一辅导的优势：因材施教

讲到这里，我想特别聊一聊为什么因式分解这个模块特别适合一对一辅导。道理很简单——每个孩子卡住的地方不一样。有的孩子公式背得熟，但不会识别特征；有的孩子方法都会，但粗心大意总算错；有的孩子能力没问题，但看到题目就紧张，大脑一片空白。这种种情况，在大班教学里很难得到针对性解决，但在一对一辅导中，我们可以根据每个孩子的具体情况"对症下药"。

在金博教育的因式分解一对一课程中，我们首先会给孩子做一个全面的诊断测评，找出他到底是在哪个环节存在问题。然后根据诊断结果，制定个性化的学习方案。如果孩子是基础不牢，我们就多花时间讲原理、练基本功；如果孩子是方法混淆，我们就帮他建立清晰的分类框架；如果孩子是粗心大意，我们就培养他的检查习惯。每种情况都有不同的应对策略，这种精准性是大班教学无法比拟的。

而且，一对一辅导的节奏完全由孩子掌控。哪里没听懂，可以一直讲到听懂为止；哪里已经掌握了，可以快速跳过。这种效率，在动辄几十人的班级里是不可能实现的。特别是因式分解这种环环相扣的知识点，如果前面有遗留问题没解决，后面只会越学越吃力。一对一辅导能够确保每个知识点都真正消化吸收，而不是"囫囵吞枣"。

给正在备考的孩子们一点建议

最后，我想给正在备战中考的孩子们几点实打实的建议。

第一，不要盲目刷题。我见过太多孩子，一口气做几十道因式分解的题目，做完对完答案就扔一边，然后继续做下一批。这种做法效率很低。正确的做法是，做一道题就要彻底搞懂这道题用的什么方法、为什么用这个方法、自己为什么做对或做错。每做完一道题，花三分钟思考和复盘，比稀里糊涂做十道题都管用。

第二，建立错题本，并且经常回顾。因式分解的错误类型其实很固定，来来回回就那几种。每次考试或练习之后，把错题整理到错题本上，标注清楚错误原因和正确解法。每隔一段时间翻一翻，确保同类型的错误不再犯第二次。这样坚持下来，你会发现自己的错误率明显下降。

第三，考试时学会"先挑软柿子捏"。中考数学试卷通常是从易到难排序的，因式分解的题目一般也不会太难。如果一道题你看了两分钟还没有思路，不要死磕，先跳过做后面的。做完其他题目再回来，可能就会有新的灵感。有时候换个心情，思路就打开了。

因式分解这个知识点，看起来是数学学习中的一座小山，但只要方法对了，翻过去并不难。希望这篇文章能给正在备考的孩子们一点帮助。如果你在学习过程中遇到什么困惑，欢迎随时来金博教育坐坐，我们一起想办法解决问题。数学这条路，我们陪你一起走。