中考数学里那个让人头大的折叠题，到底该怎么想

记得去年带冲刺班的时候，有个学生拿着一道折叠题来找我，题目其实不算难，就是一个长方形ABCD，AB=8，BC=6，把三角形BCD沿着BD折过去，让C点落到AD的延长线上。他盯着题目看了十分钟，最后憋出一句："老师，这折完之后到底变成什么样了啊？"那一刻我突然意识到，很多学生不是不会做折叠题，而是根本不知道"折叠"这两个字到底意味着什么。

在金博教育的课堂上，我常常跟学生们说，遇到几何折叠题的时候，你首先要做的不是画图、不是列方程，而是停下来问自己一个问题：折叠到底改变了什么，又保留了什么呢？这个问题想明白了，后面的解题思路自然就通畅了。

搞懂折叠的本质，是解开所有折叠题的钥匙

说白了，折叠就是让图形的一部分"站起来"，从二维平面变到三维空间。但这个"站起来"的过程不是随意的，它有严格的规则。想象一下你手里有一张纸，上面画着一个三角形，你沿着某条直线把纸折过去，那么折过去的部分和原来的部分之间，就会形成一种特殊的关系——对称。对，就是对称，折叠本质上就是轴对称的动态过程。

这个认知太重要了。很多同学一看到折叠题就慌，觉得要空间想象能力才行，其实你把折叠想成是"翻折对称"，很多问题就变得简单了。折叠前后的两个点关于折痕对称，这意味着什么？意味着折痕就是这两个点连线的垂直平分线，意味着这两个点到折痕的距离相等，还意味着折痕是折叠前后两个图形的公共部分。

我上课的时候喜欢用个生活化的例子来讲这个概念。说你有一张对折过的报纸，现在你把报纸打开铺平，报纸中间那条折痕就是折叠时留下的"记忆线"。不管你之后怎么摆放这条报纸，折痕始终连接着报纸的两个对应部分。在数学题目里，这条"记忆线"就是折痕轴，它掌握着解开折叠题的所有秘密。

折叠题里藏着的三个关键信息

当你能够从"对称"的角度看待折叠题的时候，你就获得了解题的第一个思维工具。但光有思维工具还不够，你还需要学会从题目条件中挖掘信息。根据我带冲刺班的经验，一道完整的几何折叠题通常会给你三类信息，你必须学会识别并充分利用它们。

第一类是图形信息，也就是原来的几何图形是什么形状，各边长度是多少，角度是多少。这些信息通常是已知的，比如"矩形ABCD中，AB=5，AD=12"或者"Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4"。这部分信息是解题的基础，你必须非常熟悉原图形的性质。

第二类是折叠操作信息，也就是图形是沿着哪条线折叠的，哪个点折到了哪个位置。这类信息往往是解题的关键突破口，比如"将△ABC沿AB折叠，使点C落在AB上方的某点D"，或者"将矩形ABCD沿对角线BD折叠"。注意这类信息的表述方式，它们通常会明确告诉你折痕是谁、谁和谁重合了。

第三类是结果信息，也就是折叠之后形成了什么新的图形结构，或者给出了什么新的长度、角度关系。这类信息往往是你列方程的突破口，比如"折叠后点C与点A重合"或者"折叠后DE=3，其中E是折痕与某边的交点"。

这三类信息是相辅相成的。举个例子，题目说"把△ABC沿着AB折叠，使点C落在AB上的点D"，这里就同时给出了操作信息（沿AB折叠）和结果信息（点C落在AB上成为点D）。这时候你应该立刻意识到，C和D关于AB对称，那么AC=AD，BC=BD，而且AB是CD的垂直平分线。瞧，一道题的解题思路可能就这么打开了。

画出正确的图形，是解题的第一步也是最重要的一步

说完折叠的本质和关键信息，接下来要聊的是具体操作层面的问题了。很多同学觉得画图不重要，先看题再说，这个想法在折叠题这里可要吃大亏。我带过的学生里，凡是折叠题做得顺的，都是画图功底特别好的；凡是画图敷衍的，折叠题基本都做得磕磕绊绊。

画折叠题图形有一个基本原则：先画原图，再画折痕，最后画折叠后的图形。这三步一步都不能乱，而且每一步都要认真画、精确画。原图是你所有分析的起点，折痕是折叠的核心轴，折叠后的图形是你寻找等量关系的战场。

第一步画原图的时候，要把已知的所有边长、角度都标清楚。我建议用铅笔画，方便后续标注。很多同学原图画得很潦草，标个AB=5就不管了，结果第二步分析的时候还要回头量，既浪费时间又容易出错。冲刺班的学生我都要求他们养成习惯：原图上能标的全部标上，宁可多标不能少标。

第二步找折痕。折痕通常会在题目里明确告诉你，比如"沿某条直线折叠"或者"沿对角线折叠"，但有些题目只会说"折叠后某点与某点重合"，这时候折痕需要你自己找。找折痕的秘诀是什么？是找两个对称点连线段的垂直平分线。如果折叠后点P和点Q重合，那么折痕就是PQ的垂直平分线。如果折叠后点P落在某条线段上成为点Q，那么折痕仍然是PQ的垂直平分线。

第三步画折叠后的图形，这是最容易出错的一步。常见的错误是画得不像，也就是折叠后的位置画得不准。教大家一个检验的方法：折叠后新图形中的所有点，都应该满足与原图形中对应点关于折痕对称的关系。你可以用这个性质来检验自己画得对不对。

画图时的几个小技巧

在金博教育的课堂上，我总结了几个画折叠图的实用技巧，分享给正在备考的同学们。

第一个技巧是找交点。折叠后通常会产生新的交点，比如折痕与原图形边的交点、折叠后新图形与原图形的交点等等。这些交点往往是解题的关键点，题目最后问的通常就是这些点之间的距离或者角度。所以画图的时候，这些交点一定要标清楚，最好用字母标注出来。

第二个技巧是标等量。对称点之间的距离是相等的，对称点到折痕的距离也是相致的。画完图之后，把这些相等的量全部标在图上，比如如果点A和点A'关于折痕l对称，就标上AA'⊥l于O，再标上AO=A'O。这不是在浪费时间，这是在为你后续列方程积累素材。

第三个技巧是辨重合。题目如果说折叠后"点C落在AD上"，你要判断清楚这个"落点"到底是AD的延长线上还是线段AD上。这个判断会影响整个解题思路。如果落在延长线上，可能需要用到相似三角形；如果落在线段上，可能用到的是等腰三角形的性质。判断的方法是结合题目给的数据估算一下。

找不到思路？这几类模型帮你打开突破口

很多同学说，折叠题最痛苦的不是计算，而是拿到题目根本不知道从哪下手。这种情况很正常，因为折叠题的灵活性确实比较大，不同题目之间的差异也不小。但如果你仔细研究一下历年的中考真题，就会发现折叠题其实可以归纳为几类常见的模型。当你熟悉了这些模型之后，遇到新题至少能有切入点。

模型一：直角三角形的翻折

这是中考折叠题里出现频率最高的一个模型。典型的题目是：Rt△ABC中，∠C=90°，把某一部分沿着某条线折叠，产生新的等量关系。比如经典的"把直角三角形沿斜边折叠，使两个直角顶点重合"或者"沿一条直角边折叠，使另一点落在斜边上"。

这类模型的核心是利用折叠产生的等腰三角形。因为折叠是对称变换，所以折叠后总会出现至少一组相等的边或角，从而形成等腰三角形。比如折叠后点P和点Q重合，那么△PPQ是等腰三角形吗？不是，应该是折叠前后的两个图形关于折痕对称。换个说法，假设△ABC沿AB折叠后点C落到AB上的点D，那么AC=AD，BC=BD，△ACD和△BCD都是等腰三角形的一部分。

模型二：矩形的折叠

矩形折叠题也很常见，通常是沿对角线折叠或者沿平行于边的直线折叠。矩形的好处是四个角都是直角，对边相等，这些性质在折叠后仍然保留，所以分析起来相对容易一些。

举个例子，一个矩形ABCD，AB=8，BC=6，沿对角线BD折叠，让点C落到AB的延长线上求某段长度。这类题的关键在于利用矩形的对称性，找到折叠后的点与原图形的对应关系。矩形沿对角线折叠后，点C会落在AB延长线上的某个位置，这个位置可以通过计算得到。常用的方法有两种：一是建立坐标系，用坐标计算；二是用勾股定理列方程。

模型三：正方形的折叠

正方形因为四条边相等、四个角都是90度，折叠后的可变性比矩形小，所以题目通常会出得稍微灵活一些，考验学生的应变能力。常见的出题方式是给出正方形的一部分被折叠，要求计算某些长度或角度。

正方形折叠题有一个很实用的技巧：折叠后总会产生等腰直角三角形。因为正方形的角是90度，折叠后新图形的角要么保持90度，要么被平分（如果沿对角线折叠的话），所以等腰直角三角形的出现几乎是必然的。找到这个等腰直角三角形，往往就是解题的突破口。

建立等量关系，这是解题的核心步骤

图形画完了，模型也认出来了，接下来就是最核心的步骤——建立等量关系。折叠题里的等量关系主要来源于三个方面：折叠的对称性质、原图形的性质、以及题目给出的数量条件。

关于对称性质产生的等量关系，前面已经说了很多。总结一下就是：折叠前后对应点到折痕的距离相等，对应线段相等，对应角相等。折痕是折叠前后两个图形的对称轴，所以任何关于对称轴成立的关系，在折叠前后都保持不变。

原图形的性质这个很好理解。比如原来是个矩形，折叠后虽然形状变了，但原来的对边相等、四个角是直角这些性质并没有消失，只是可能以新的形式呈现。比如矩形沿对角线折叠后，得到的两个三角形仍然是直角三角形，而且它们全等。

题目给出的数量条件是建立方程的直接来源。比如题目说"折叠后DE=3"，你就可以直接把DE=3写进方程里。很多同学的问题是能找到等量关系，但不知道该怎么把这些等量关系转化成数学语言。这里教大家一个方法：先明确要求什么，再看看什么和它相等，最后把相等的量都用含未知数的式子表示出来。

举个例子，题目问的是折痕的长度。你首先要想，折痕是一条线段，它的长度等于什么？通常折痕是两个交点之间的距离，比如折痕是折痕线与矩形两边的交点之间的线段。假设交点是E和F，那么EF就是折痕。现在题目可能还会告诉你折叠后某些线段的长度，比如折叠后点C到某个位置的距离，你可以利用对称性把这个距离转化成与EF相关的表达式，然后列方程求解。

解折叠题常用的几种方程类型

在金博教育的教学实践中，我总结了几种折叠题里最常遇到的方程类型，大家可以参考一下。

第一种是勾股定理方程。折叠题里经常出现直角三角形，而这些直角三角形的边长往往可以通过勾股定理建立等式。比如折叠后形成的某个直角三角形，它的三条边满足a²+b²=c²，而其中某条边又和原图形的边长有等量关系，这时候就可以列方程了。

第二种是等面积方程。有些折叠题会用到面积来建立等量关系。比如题目可能会说折叠后某个图形的面积是原图形面积的一半，或者折叠后两个图形的面积相等。这种情况下，列出面积表达式并令它们相等，就能解出未知数。

第三种是相似三角形方程。折叠后经常会产生新的三角形，这些三角形可能与原来的三角形相似，从而得到比例关系。找相似三角形的时候，先找相等的角，再判断是不是对应的，相似三角形一旦找到，后面的计算就会顺畅很多。

第四种是等腰三角形方程。这个前面提到过，折叠必然产生等腰三角形，而等腰三角形有一些很好的性质，比如底角相等、底边上的高平分底边等等。利用这些性质，可以得到很多有用的等式。

写在最后：别让折叠题变成你的"心魔"

说了这么多，其实最想跟大家说的是：折叠题真的没那么可怕。它看起来复杂，是因为涉及到空间想象，但只要掌握了正确的方法，空间想象能力是可以训练的。你画图的次数多了，画着画着就在脑子里能画出来了；你做的题多了，见的模型多了，考试的时候自然就有思路了。

冲刺班的学生经常问我，做折叠题需不需要天赋。我说不需要，需要的是正确的方法和足够的练习。方法对了，事半功倍；练习够了，熟能生巧。那些中考数学拿高分的同学，没有哪个是靠天赋做对折叠题的，都是一步步练出来的。

如果你现在看到折叠题还是有点发怵，不妨回到最开头的那句话：问自己，折叠改变了什么，保留了什么。把这个问题想明白了，再去画图、再去找模型、再去列方程。也许第一次第二次还是会觉得困难，但相信我，坚持这样练习下去，你会发现折叠题其实挺有意思的——那种把一个复杂问题一步步拆解、最后找到答案的感觉，其实挺爽的。

祝大家中考顺利，数学都能考出理想的成绩。