一对一家教初中数学二次函数专题辅导方案

说到二次函数，很多初中生都会头疼。这块内容确实不太友好，它不像一次函数那样直观，二次函数的图像是个抛物线，里面藏着顶点、对称轴、开口方向这些抽象概念孩子们不容易理解的东西。而且二次函数在中考里占的分值不小，一般都有10到15分的样子，丢分实在太可惜。

我在金博教育带了很多届学生，发现二次函数学不好的孩子，往往不是智商问题，而是学习方法没找对。学校里一个班三四十人，老师只能按整体进度讲，个别孩子没跟上，后面的课就越听越懵。一对一辅导的好处就在这儿，能根据孩子自己的情况，哪里不会补哪里，把断层给接上。今天我就来详细说说，二次函数这个专题，一对一辅导到底应该怎么安排。

一、先搞清楚二次函数到底是什么

很多孩子学二次函数，一上来就背公式、画图像，结果连二次函数最本质的定义都没弄清楚。辅导的第一步，得让孩子真正理解什么叫二次函数。

二次函数的本质，简单说就是含有x²项的函数。你想想，一次函数是y = kx + b，这里x的最高次数是1；那如果x的最高次数变成2，自然就是二次函数了。最标准的写法是y = ax² + bx + c，其中a、b、c都是常数，而且a必须不等于零——这一条很多孩子会忘，考试经常在这挖坑。

辅导的时候，我会先问孩子一个问题：你往天上扔一个石子，它走的是什么路线？石子先上升，到最高点再下落，这个轨迹就是抛物线，而抛物线就是二次函数的图像。这样联系生活实际，孩子一下子就能把抽象的数学概念和真实世界联系起来。再比如坐滑梯，那种弯弯的滑道也是抛物线形状。让孩子意识到二次函数无处不在，他们学起来的兴趣自然就高了。

二次函数的三种表达式要彻底弄懂

二次函数有三种常见的表达式，每一种都有自己的用处，孩子必须都掌握。

第一种是标准式，就是y = ax² + bx + c。这种形式最常见，考试里大部分题目给的也都是这种形式。好处是你能直接看出a、b、c三个系数，坏处是找顶点坐标需要配方，比较麻烦。

第二种是顶点式，写成y = a(x - h)² + k。这里(h, k)就是抛物线顶点的坐标，一眼就能看出来。这种形式在已知顶点坐标或者要画抛物线的时候特别方便。比如题目告诉你抛物线顶点是(2, 3)，你直接就能写出y = a(x - 2)² + 3，然后代入另一个点求a就行了。

第三种是交点式，也叫做两根式，写作y = a(x - x₁)(x - x₂)。这里x₁和x₂是抛物线与x轴交点的横坐标。这种形式在已知抛物线与x轴的两个交点时用起来最顺手。

一对一辅导的时候，我会带着孩子把这三种形式互相转化练熟。比如给一个标准式y = 2x² - 8x + 6，让孩子自己配方变成顶点式，再因式分解变成交点式。来回多练几次，孩子就能彻底搞清楚它们之间的关系，考试时根据题目条件选择最合适的形式来做。

二、二次函数的图像性质是重头戏

二次函数的图像是抛物线，这部分内容是考试的重点，也是孩子最容易混乱的地方。我辅导时会把这块内容拆成几个小块，一个一个帮孩子理清楚。

开口方向和开口大小

首先看系数a。a大于零的时候，抛物线开口向上，像一个U字形；a小于零的时候，抛物线开口向下，像一个倒过来的U。这个知识点看起来简单，但考试时经常有孩子搞反，一画图就错。

a的绝对值大小决定了开口的宽窄。|a|越大，抛物线开口越窄；|a|越小，抛物线开口越宽。你可以想象一下，a越大，x²项的权重越高，图像就会越"瘦"；a越小，图像就越"胖"。这个知识点在比较函数值大小的时候经常用到，比如问x=1时y₁和y₂哪个大，如果已知两个抛物线的a值，直接就能判断出来。

对称轴必须搞透彻

二次函数图像的对称轴是一条垂直的直线，公式是x = -b/(2a)。这个公式要让孩子彻底理解它是怎么来的，为什么对称轴正好在-b/(2a)这个位置。

辅导时我会这样解释：你看标准式y = ax² + bx + c，把它配方变成y = a(x + b/(2a))² + (4ac - b²)/(4a)，这时候就能清楚地看到，对称轴就是x = -b/(2a)。这样推导一遍，孩子不仅知道公式是什么，还知道公式为什么长这样，考试时就算忘了也能自己推出来。

顶点坐标是必考内容

顶点是抛物线的最高点或最低点，坐标是(-b/(2a), (4ac - b²)/(4a))。或者更简单的方法，用顶点式直接看，y = a(x - h)² + k的顶点就是(h, k)。

顶点的纵坐标还有另一个写法，就是(4ac - b²)/(4a)，这个其实就是二次函数的最大值或最小值。当a>0时，顶点是最低点，函数有最小值；当a<0>

三、二次函数与方程、不等式的联系

二次函数不是孤立的，它和一元二次方程、二次不等式有着紧密的联系。中考题目经常会把它们综合在一起考，所以这块内容必须融会贯通。

函数值与方程根的关系

二次函数y = ax² + bx + c的图像与x轴的交点横坐标，就是方程ax² + bx + c = 0的根。这个知识点太重要了，数形结合的思想在这里体现得淋漓尽致。

如果判别式Δ = b² - 4ac > 0，图像与x轴有两个交点，方程有两个不相等的实数根；Δ = 0时，图像与x轴有一个交点（顶点），方程有两个相等的实数根；Δ < 0>

函数值的大小比较

已知两点横坐标，比较函数值大小，这类题目有技巧。如果两点在对称轴同侧，离对称轴越远，函数值越大（a>0时）或越小（a<0>

还有一种题型是已知函数值大小关系，反过来推断横坐标的范围。这时候需要结合图像，把抽象的不等式转化成直观的图形来看。比如二次函数y = x² - 2x - 3，如果y > 0，解集是什么？先找出函数与x轴的交点是x=-1和x=3，图像开口向上，所以y>0的部分就是x < -1或x > 3。这种题目画图来做最简单，一画就明白了。

四、应用题是丢分重灾区怎么破

二次函数的应用题是中考必考的内容，也是很多孩子的噩梦。什么最大利润、最大面积、抛物线运动轨迹，看着就头疼。这类题目辅导的关键在于，帮孩子建立一套固定的解题流程。

第一步，设变量。仔细读题，找出题目中的变量，一般都是有两个相关量的题目，比如售价和销量、时间和高度、长和宽。设好自变量x和因变量y。

第二步，建关系。根据题目给的条件，把y表示成x的二次函数。这一步最难，需要孩子理解题目中的数量关系。比如售价每涨5元，销量就减少10件，这种比例关系要能转化成代数式。

第三步，求最值。求出二次函数的最值，这就是题目要的最大值或最小值。注意这里要用到顶点公式，而且要判断是最大还是最小。

第四步，检验作答。求出结果后要检验一下是否合理，比如人数不能是负数，面积不能超过题目给的范围。

我辅导学生的时候，会找几道不同类型的应用题让他们练，每种类型都总结一下解题思路。比如最大利润问题、几何图形的最大面积问题、抛物线型拱桥问题，这三种是最常见的，每种练熟练了，考试基本就没问题了。

五、常见错误和避坑指南

带了这几年学生，我发现二次函数这块有几个坑，几乎每个孩子都会踩一遍。提前把这些错误指出来，孩子就能少走弯路。

第一个坑是系数a不能为零。题目有时候会故意挖坑，给出一个式子问是不是二次函数，如果里面有参数，孩子一不留神就会上当。一定要记住，a≠0是二次函数的必要条件，缺少这一条就不是二次函数。

第二个坑是配方错误。配方是二次函数的基本功，但很多孩子总是配错。正确的方法是：y = ax² + bx + c = a(x² + b/a x) + c = a(x² + b/a x + (b/2a)² - (b/2a)²) + c = a(x + b/2a)² - b²/4a + c。最后一步-b²/4a + c要写成(4ac - b²)/4a，这个分数运算很多孩子会出错，需要多练。

第三个坑是搞反符号。对称轴公式x = -b/(2a)，很多孩子会把负号漏掉，或者把b的符号搞反。顶点式y = a(x - h)² + k里的h是顶点横坐标，如果写成x = h + k那就错了，应该是x = h。

第四个坑是审题不仔细。应用题里经常有陷阱，比如"售价上涨x元"和"售价为x元"，这是完全不同的意思。孩子一急就会看错，把上涨后的售价当成x来算，结果全错。辅导时我会强调，读题要一个字一个字地看，关键信息圈出来，不要凭印象做题。

六、一对一辅导为什么效果更好

说完二次函数的知识点，我再聊聊一对一辅导这种形式到底好在哪里。为什么有些孩子在学校听课听不懂，一对一辅导之后成绩就上去了？

最核心的原因是针对性。每个孩子的问题都不一样，有的孩子二次函数定义没搞清楚，有的孩子图像性质记混了，有的孩子应用题不会列式子。在学校里老师只能按统一的进度讲，没法照顾每个孩子的特殊情况。一对一辅导就不一样了，老师可以精确找到孩子的问题在哪里，然后专门针对这个问题下功夫。别的孩子会了的内容不用重复讲，就盯着不会的地方练，效率自然就高了。

还有一个重要因素是节奏把控。学校里一节课45分钟，老师要讲新课、巩固、练习，时间很紧张。孩子如果某个点没跟上，后面的内容就全懵了。一对一辅导可以根据孩子的状态调整节奏，这个知识点没理解透，就多讲几遍换个方式讲，直到孩子真正弄懂了为止。而且一对一的氛围比较轻松，孩子有不懂的地方敢问，不会因为怕同学笑话而把问题憋在心里。

金博教育的老师都很有经验，带过各种类型的学生。孩子哪个知识点薄弱，我们心里都有数，也会根据孩子的性格特点选择合适的教学方法。有的孩子需要多举例，有的需要多画图，有的需要多做题，每个孩子我们都会有针对性地去教。

七、辅导安排建议

如果决定给孩子报一对一辅导二次函数专题，我建议这样安排课时，会比较合理有效。

• 第一二次课：二次函数的基本概念和三种表达式，重点是理解定义和会互相转化。
• 第三四次课：二次函数的图像和性质，开口方向、对称轴、顶点坐标，这些是核心内容，需要多花时间。
• 第五六次课：二次函数与方程、不等式的关系，数形结合的思想要培养起来。
• 第七八次课：二次函数的应用题，各种类型都练一遍，总结解题方法。
• 第九十次课：综合复习和模拟练习，查漏补缺，看看还有没有问题。

当然这只是参考，具体还要看孩子的实际情况。如果孩子基础特别薄弱，可能需要多安排几次基础部分；如果孩子接受能力强，节奏可以快一些。灵活调整最重要。

二次函数这块内容，只要方法对了，其实没有那么可怕。很多孩子一开始觉得难，慢慢学进去之后发现还挺有意思的。关键是要有人带着他把知识点一个一个理清楚，把练习一道一道做透彻。学习这件事，没有捷径，但有方法。找到好老师，用对方法，再加上孩子自己努力，成绩提升是水到渠成的事。

如果你家孩子正在为二次函数发愁，不妨考虑一下一对一辅导这种方式。有时候换个学习方式，效果可能就完全不一样了。希望每个孩子都能把二次函数这块硬骨头啃下来，中考考个好成绩。