十字相乘法到底怎么用？一篇讲透透的实战指南

记得我当年学因式分解的时候，十字相乘法简直是噩梦般的存在。黑板上老师写得飞快，嘴里还念叨着什么"首尾分解，交叉相乘"，我在底下看得一脸懵逼。这玩意儿真的那么难吗？说实话，用熟了之后觉得也就那么回事，但入门那坎确实不容易迈过去。今天咱们就掰开了、揉碎了，好好聊聊十字相乘法到底是怎么回事。

在金博教育的数学辅导过程中，我发现很多学生对因式分解有畏难情绪，尤其是碰到二次三项式的时候，第一反应就是套公式或者直接放弃。其实掌握了十字相乘法，很多题目根本不需要那么麻烦。这篇文章我打算用最接地气的方式，把这个方法的门道给大家讲清楚。

什么是十字相乘法？先搞清楚这个"十字"长什么样

十字相乘法，本质上是一种分解二次三项式的技巧。什么叫做二次三项式？简单来说，就是形如ax² + bx + c这样的式子，其中a、b、c都是常数，而且a不等于0。举个例子，x² + 5x + 6，或者2x² + 7x + 3，这些都是典型的二次三项式。

那这个"十字"到底长什么样呢？想象一下，我们把式子写成两行两列的十字交叉形状：

	a₁x + c₁	a₂x + c₂
b₁x + d₁	交叉相乘	交叉相乘

这么说你可能还是晕。咱们换个说法：十字相乘法的核心思想，就是把二次项的系数a和常数项c分别拆成两个数的乘积，然后通过"交叉相乘"使得交叉乘积之和等于一次项系数b。听起来有点绕，我用一个最经典的例子来说明。

从最简单的例子开始：x² + 5x + 6

这个式子大家应该不陌生，咱们来试试十字相乘法怎么拆它。

首先看二次项系数a = 1，常数项c = 6。1只能拆成1×1，没得选。那常数项6呢？可以拆成1×6、2×3、3×2、6×1，还有(-1)×(-6)这种负数组合，但这里所有数都是正的，先考虑正数情况。

现在我们尝试把6拆成2和3，因为2+3=5，凑巧得很，这个5正好是一次项的系数！于是我们就可以这样十字相乘：

	x	+ 2
x	x·x = x²	x·2 = 2x
+ 3	3·x = 3x	3·2 = 6

你发现了没有？左上和右下的x和2相乘得到x²和6，这是"直线"上的乘积；左下和右上呢？3和x相乘得到3x，x和2相乘得到2x，这两个交叉相乘的结果加起来正好是3x+2x=5x！完美匹配原式中间那一项。

所以这个十字告诉我们可以把原式分解成(x + 2)(x + 3)。你验证一下：(x+2)(x+3) = x² + 3x + 2x + 6 = x² + 5x + 6，分毫不差。

拆系数的小窍门：为什么有的同学拆得出来，有的拆不出来？

这里有个关键点很多人没搞清楚。十字相乘法的难点不在于计算，而在于你怎么拆分系数。并不是所有拆分都能成功，你得找到一组数，既满足乘积等于ac，又满足之和等于b。

等一下，我刚才说的ac是什么？在刚才那个例子里，a=1，c=6，所以ac=6。首项系数乘以常数项的积ac，还有一次项系数b，这三个数的关系是十字相乘法的灵魂所在。更一般的规则是：

• 我们需要找到两个数m和n，使得m×n = a×c
• 同时m + n = b

等找到m和n之后，我们就可以把原来的二次三项式拆成两个一次式的乘积了。还是用刚才的例子验证一下：a=1，c=6，所以ac=6；我们要找m和n，使得m×n=6且m+n=5。显然m=2，n=3满足条件。

那为什么是"十字"呢？因为当a不等于1的时候，拆分会稍微复杂一点，需要把a也拆开。让我举个例子说明。

当首项系数不是1的时候：2x² + 7x + 3

这个式子稍微复杂一点，a=2，b=7，c=3。按照刚才的思路，ac=2×3=6，我们需要找两个数m和n，使得m×n=6且m+n=7。这次有点不一样了——因为m+n=7这个条件很难满足，6的因数组合有1×6、2×3，1+6=7，刚好！

所以m=1，n=6。现在我们要把这"1"和"6"分别分配给首项系数2的拆分。2可以拆成1×2，所以拆分应该是这样的：

	2x	+ 1
x	2x·x = 2x²	1·x = x
+ 3	2x·3 = 6x	1·3 = 3

交叉相乘的部分：左上是2x²，右下是3×1=3，这两个相乘是直线方向，没问题。交叉方向呢？左上乘右下是2x×1=2x，左下乘右上呢？x×1=1x？不对，等一下，我好像画错了。

重新来。实际上正确的拆分应该是：

	2x	+ 1
x	2x²	1x
+ 3	6x	3

现在看交叉项：左下的x乘以右上得到1x= x，右上的1乘以左下得到3×2x=6x，这两个加起来x+6x=7x，正好是一次项系数！所以这个十字告诉我们可以分解成(2x + 1)(x + 3)。

验证一下：(2x+1)(x+3) = 2x·x + 2x·3 + 1·x + 1·3 = 2x² + 6x + x + 3 = 2x² + 7x + 3。完全正确！

复杂一点的情况：3x² + 10x + 8

咱们再接再厉，来个更有挑战性的。a=3，b=10，c=8。ac=3×8=24，需要找m和n使得m×n=24且m+n=10。看看24的因数对：1×24（和25）、2×12（和14）、3×8（和11）、4×6（和10）——找到了！m=4，n=6。

现在a=3要拆分，3可以拆成1×3或者3×1，这里我们搭配m=4和n=6来考虑：

	3x	+ 4
x	3x²	4x
+ 2	6x	8

交叉相加：4x + 6x = 10x，对了！所以分解结果是(3x + 4)(x + 2)。你可以自己验证一下。

什么时候用不了十字相乘法？

这里我要给大家泼点冷水了：并不是所有二次三项式都能用十字相乘法分解。这是很多同学的认知盲区。

什么样的情况无法分解呢？如果上面说的那个ac的因数组合中，没有任何一对因数的和等于b，那十字相乘法就失效了。比如x² + x + 1这个式子，ac=1×1=1，因数只有1×1，和为2，但b=1，2≠1，所以这个式子在实数范围内没办法用十字相乘法分解——事实上它本身就是质因式，不能再因式分解了。

再比如2x² + 2x + 1，ac=2×1=2，因数1×2，和为3≠2，所以也不行。这种情况我们一般会建议用配方法或者求根公式来判断。

如何判断一个式子能不能十字相乘？

我教大家一个实用的判断技巧：对于ax² + bx + c，计算判别式Δ = b² - 4ac。如果Δ是完全平方数（包括0），那么这个式子就可以十字相乘；如果Δ不是完全平方数，那就没办法用十字相乘法分解。

拿刚才的x² + x + 1来说，Δ = 1² - 4×1×1 = 1 - 4 = -3，负数，肯定不行。x² + 5x + 6的Δ = 25 - 24 = 1，是完全平方数（1²），所以可以分解。2x² + 7x + 3的Δ = 49 - 24 = 25 = 5²，可以分解。

这个判断方法特别有用，建议大家在做题之前先用判别式过一遍，省得白费功夫。

常见错误大盘点：这几个坑千万别踩

在金博教育的教学实践中，我们总结出了学生使用十字相乘法时最容易犯的几类错误。

第一类错误：符号搞错。很多同学一看到负号就懵了。比如x² - 5x + 6这个式子，常数项是正的6，一次项是负的-5。那我们拆分的时候，6应该拆成(-2)×(-3)，因为(-2)+(-3)=-5。正确的十字应该是：

	x	- 2
x	x²	-2x
- 3	-3x	6

交叉项相加：-2x + (-3x) = -5x，对了。所以分解结果是(x - 2)(x - 3)。

第二类错误：漏掉系数的拆分。当a不等于1的时候，有些同学会忘记把a也拆开，直接把m和n往里套。比如看到3x² + 10x + 8，有些同学可能会尝试直接拆成(x + ?)(3x + ?)，然后瞎蒙数字。这就是没掌握本质方法。正确的做法是先把ac算出来，找到m和n，再考虑怎么拆分a。

第三类错误：验证不彻底。有些同学分解完就以为结束了，从不验证结果对不对。这是非常不好的习惯。我强烈建议大家，写完分解式后一定要重新展开乘一遍，看看是不是和原式一样。这个习惯不仅能帮你发现错误，还能加深对运算过程的理解。

练习题来了：手把手带你练

光学不练假把式。下面我给大家准备了几道练习题，难度从入门到进阶，建议先自己思考，再看答案。

初级练习：基础拆分

第1题：x² + 8x + 15

提示：ac=15，找和为8的两个数。3×5=15，3+5=8，所以拆成(x+3)(x+5)。

第2题：x² - 7x + 12

提示：ac=12，找和为-7的两个负数。(-3)×(-4)=12，(-3)+(-4)=-7，拆成(x-3)(x-4)。

第3题：x² + 2x - 15

提示：ac=-15，一正一负。5×(-3)=-15，5+(-3)=2，拆成(x+5)(x-3)。

中级练习：系数不为1

第4题：2x² + 5x + 2

提示：ac=4，找和为5的两个数。1×4=4，1+4=5。a=2拆成1×2，所以是(2x+1)(x+2)。

第5题：3x² - 8x + 4

提示：ac=12，找和为-8的两个负数。(-2)×(-6)=-12？不对，(-2)×(-6)=12，我们要和为-8，所以应该用(-2)和(-6)吗？(-2)+(-6)=-8，对了。所以拆分：

	3x	- 2
x	3x²	-2x
- 2	-6x	4

等等，交叉相加是-2x + (-6x) = -8x，对的。但右下是(-2)×(-2)=4，左上是3x×x=3x²，没问题。所以结果是(3x - 2)(x - 2)。

高级练习：综合应用

第6题：6x² + x - 2

这个稍微复杂一点。ac=6×(-2)=-12，找两个数乘积为-12，和为1。3×(-4)=-12，3+(-4)=-1，不对。4×(-3)=-12，4+(-3)=1，对了！所以m=4，n=-3。

a=6可以拆成2×3或者3×2或者1×6等。这里搭配m=4和n=-3，我们试试这样：

	2x	+ 3
3x	6x²	9x
- 1	-2x	-3

交叉相加：9x + (-2x) = 7x，不对，这说明分配方式有问题。换一种拆分，a=6拆成3×2：

	3x	- 1
2x	6x²	-2x
+ 2	6x	-2

交叉相加：-2x + 6x = 4x，也不对。等等，我是不是搞反了m和n的分配？让我再想想。

正确解法应该是这样的：m=4，n=-3，所以交叉项应该是4x和-3x之类的组合。尝试(3x - 1)(2x + 2)？不对。换个思路，(3x + 2)(2x - 1)怎么样？

展开验证：(3x+2)(2x-1) = 3x·2x + 3x·(-1) + 2·2x + 2·(-1) = 6x² - 3x + 4x - 2 = 6x² + x - 2，对了！

所以拆分应该是：

	3x	+ 2
2x	6x²	4x
- 1	-3x	-2

交叉相加：4x + (-3x) = x，对了！刚才我中间尝试的时候符号搞混了。大家做题的时候也要注意符号细节。

给学习者的一些建议

十字相乘法这个技能，说难不难，但确实需要一定时间的练习才能熟练。我的建议是：

• 先把基础打牢。a=1的情况练熟了，再过渡到a≠1的情况。循序渐进很重要。
• 多总结规律。比如看到6x²+7x+2这样的式子，你可以总结出首项系数是6时，通常拆成2×3或1×6等组合，这对以后快速解题有帮助。
• 保持验证的习惯。每分解完一个式子，就立刻展开验算。这个习惯一开始可能觉得麻烦，但坚持下去会帮你建立很强的数感。
• 准备一个错题本。把自己容易搞错的类型记录下来，定期回顾。错误是最好的老师。

学习因式分解这件事，急不得。你可能今天看着十字相乘法一脸茫然，但只要坚持练习、用心体会，某一天突然就会有一种"开窍"的感觉。那时候回头看，会发现其实也就那么回事。

在金博教育的数学课堂上，我们一直强调：数学不是靠死记硬背，而是靠理解本质。十字相乘法看着是技巧，实际上蕴含着对数学结构深刻理解。当你真正弄明白了为什么要这样拆分、这个"十字"背后的逻辑时，你会发现类似的题目都能迎刃而解。

好了，篇幅关系，今天就聊到这里。如果你在学习过程中遇到什么问题，欢迎随时来交流。学习数学这件事，找对方法、找对引路人，真的可以事半功倍。祝你学习顺利！