中考数学一对一辅导：因式分解分组分解法技巧全解析

记得我第一次给学生讲分组分解法的时候，那孩子盯着黑板上的式子看了整整五分钟，然后一脸茫然地问我："老师，这明明是四个单项式，您怎么就把它们分两组了呢？"我当时就想，这事儿确实没那么直观。分组分解法最大的特点就是"看起来没规律，但仔细想想全是套路"。今天咱们就聊聊这个让很多中考生头疼又离不开的技巧。

一、分组分解法到底是怎么回事

说白了，分组分解法就是把一个多项式里的项先分分组，然后分别在每组内部做因式分解，最后再把分解后的结果合并起来。你想啊，有些多项式直接看过去，四个、六个甚至更多项摆在那儿，直接找公因式根本找不着。这时候与其干瞪眼，不如先把它们"意思意思"——分成两组再说。

举个例子吧，比如这个式子：x² - 2xy + y² - 4。你要是直接盯着看，可能看不出什么名堂。但如果你把前三项分一组，最后一项单独一组，情况就完全不同了。前三项正好是个完全平方公式，(x - y)²，然后减去4，再平方差一套，嘿，(x - y - 2)(x - y + 2)就出来了。

分组分解法的核心思想就八个字：先分后合，化整为零。这听起来简单，但实际操作的时候，分组的方式有时候不止一种，到底怎么分才管用，这里头是有讲究的。

二、分组的原则与策略

不是随便把四项分成两组就能解决问题的。分组的基本原则是：分组之后，每组要能够分别提取公因式或者运用公式，而且两组之间还能继续进行因式分解。说白了，分组不是目的，通过分组找到能继续分解的"接口"才是目的。

策略一：按公因式分组

这是最常见的一种策略。分组的时候，有意识地把含有相同因式的项放在一组，这样每组就能先提出一个公因式来。比如这个式子：3ax + 3bx - 2ay - 2by。你看，前两项都有3x，后两项都有2y，那干脆前两项一组，后两项一组。

分完之后，第一组提取公因式3x，变成3x(a + b)；第二组提取公因式2y，变成-2y(a + b)。这时候两组都出现了(a + b)，这不就能继续提取公因式了吗？最后结果就是(a + b)(3x - 2y)。整个过程就像是剥洋葱，一层一层往里剥，最后露出核心来。

策略二：按公式特征分组

有些式子分组的目的不是找公因式，而是凑公式。常见的完全平方公式、平方差公式这些都是"公式分组"的目标。比如刚才说的x² - 2xy + y² - 4，就是把前三项凑成一个完全平方，然后剩下一个常数项，再用平方差公式收尾。

再来看一个稍微复杂点的例子：4x² - 4xy + y² - 9z²。前三个项明显是(2x - y)²，最后一项是(3z)²。分组之后分别按公式展开，然后再用平方差，一套组合拳下来，(2x - y - 3z)(2x - y + 3z)就完成了。

策略三：按系数比例分组

有时候多项式的系数之间存在某种倍数关系，这时候可以按系数比例来分组。比如：2x + 4y - 3x - 6y。前两项系数是2，后两项是3，但仔细一看，2和4是倍数关系，3和6也是倍数关系。所以第一组提取2，第二组提取3：

• 第一组：2(x + 2y)
• 第二组：-3(x + 2y)

两组都出现了(x + 2y)，提取之后就得到(2 - 3)(x + 2y) = -(x + 2y)。你看，系数之间的倍数关系有时候就是分组的线索。

策略四：三项式与单项式搭配

当多项式有六项的时候，三项式和单项式搭配分组是比较常见的做法。比如：x³ + x²y + xy² + y³ + x² + y²。这个式子看起来挺乱的，但如果把前四项分成一组，后面两项分成一组呢？前四项其实可以变成x²(x + y) + y²(x + y) = (x² + y²)(x + y)，然后加上后面的x² + y²，提取公因式(x² + y²)，最终结果就是(x² + y²)(x + y + 1)。

三、分组分解的常见题型与解题模板

为了让同学们更系统地掌握分组分解法，我整理了几种最常见的题型和解题思路。这些模板不是死记硬背用的，而是帮助你在遇到题目时快速找到方向。

四二型分组

这是最经典的四四项式分组结构，前两项为一组，后两项为一组。适用于那些"两两有公因式"或"两两能配方"的情况。解题步骤一般是：

• 观察四项，寻找可能的分组线索
• 尝试将前两项和后两项分别分组
• 每组分别因式分解
• 检查分解后的结果是否有新的公因式
• 最终提取并整理结果

举个例子：ax - ay + bx - by。前两项提取a得a(x - y)，后两项提取b得b(x - y)，两组都有(x - y)，最终提取得到(a + b)(x - y)。整个过程行云流水，关键就在于能不能第一时间发现"前两项有公因式，后两项也有公因式"这个特征。

三三型分组

六个项分成两组，每组三项。这种分组通常是为了凑某个三项式公式，或者让每组分别有公因式可提。比如：x³ - 3x² + 3x - 1 + y³。前四项正好是完全立方公式(x - 1)³，最后一项是y³，然后用立方和公式a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)，最终结果是(x - 1 + y)[(x - 1)² - (x - 1)y + y²]。

一二三型分组

这种分组方式相对灵活，有时候是把一项单独放一组方便配方，有时候是为了制造某种特定的结构。比如x² - y² + 2x + 1，把最后两项2x + 1分成一组，配成(x + 1)²，然后减去y²，用平方差公式得到(x + 1 - y)(x + 1 + y)。

四、进阶技巧与易错点分析

分组分解法看起来步骤不多，但实际操作中有很多"坑"。我带过这么多学生，发现大家最容易出错的地方主要有这么几个：

分组后无法继续分解怎么办

这应该是最常见的问题了。有时候分组之后，每组确实能分解，但分解完之后两组之间没有共同的因式，这说明你的分组方式选错了。这时候怎么办？很简单——换一种分组方式重新试试。

比如这个式子：x² - 2xy + y² - x + y。如果按前三项和后两项分组，前三项是(x - y)²，后两项是-(x - y)，两组都有(x - y)，提取后得到(x - y)(x - y - 1)，这是对的。但如果我把前两项和后三项分一组呢？前两项是x(x - 2y)，后三项y² - x + y好像不太好评分解。这就是说，不同的分组方式可能导向完全不同的结果，甚至有些分组方式根本走不通。所以遇到卡壳的情况，换个角度试试往往就通了。

注意符号的处理

符号问题真的害人不浅。很多同学在分组的时候不注意符号，结果算到最后符号全错了。我建议大家在提取负号的时候一定要谨慎，能不提负号就尽量不提，如果必须提，就整个式子都提，别只提一半。

比如-3ax + 3bx + 2ay - 2by这个式子。如果前两项一组提取3x，后两项一组提取2y，得到的是3x(-a + b) + 2y(a - b)。这时候-a + b和a - b正好是相反数，可以把其中一个变成-(另一个)，变成3x(b - a) - 2y(b - a)，然后提取(b - a)得到(b - a)(3x - 2y)。整个过程符号处理要小心，稍不留神就会出错。

检查是否分解彻底

因式分解的最终结果应该是不能再分解的多项式的乘积形式。很多同学分解到一半就以为是终点了，结果漏掉了后面还能继续分解的部分。比如(x² - 4)(x + 1)，第一部分x² - 4还能用平方差公式继续分解成(x - 2)(x + 2)，所以完整的分解应该是(x - 2)(x + 2)(x + 1)。每次分解完之后，一定要回头检查每一步，确保没有遗漏。

五、实战演练：典型例题深度解析

说再多理论不如做几道真题。下面我选几道中考真题，给大家演示完整的解题过程，顺便说说每一步的思考依据。

例题一

题目：分解因式x²y - 3xy² + 2y³

解题过程：

首先观察这个式子，三项都有y，所以先提取y：y(x² - 3xy + 2y²)。接下来看括号里的部分：x² - 3xy + 2y²。这是关于x的二次三项式，可以用"十字相乘法"分解。2y²可以看成(2y)(y)，交叉相乘再相加：x·y + x·2y = 3xy，正好是中间项。所以分解成(x - 2y)(x - y)。最终结果：y(x - 2y)(x - y)。

例题二

题目：分解因式2x² - 3xy - 2y² + x + 7y - 3

解题过程：

这是一个六项式，结构比较复杂。先看前四项：2x² - 3xy - 2y² + x，可以尝试分组。前三项是2x² - 3xy - 2y²，用十字相乘法分解：2可以分成1和2，-2可以分成-2和1，交叉相乘1×1 + 2×(-2) = 1 - 4 = -3，正好是中间项系数。所以前三项分解成(2x + y)(x - 2y)。原式变成(2x + y)(x - 2y) + x + 7y - 3。

接下来需要处理后面的x + 7y - 3。这里有个小技巧：把x看成和2x + y有关的东西，设(2x + y)(x - 2y) + a(2x + y) + b(x - 2y)这样的形式，展开后对比系数解方程求a和b。计算过程这里就不展开了，直接给出结果a = -1，b = 3。所以整体分解为(2x + y - 1)(x - 2y + 3)。这就是双十字相乘法的典型应用。

六、学习建议与练习方法

分组分解法这门技术，说到底就是"熟能生巧"。我给正在备考中考的同学几点建议吧：

第一，建立分组意识。看到四项或六项的多项式，不要着急下笔，先在心里问自己"这几项能不能两两分组"。这种意识要靠大量练习来培养。

第二，记住典型模型。像完全平方、平方差、立方和差这些公式变形，还有"两项+两项""三项+三项"的标准分组模式，要做到烂熟于心。考试的时候根本没时间让你推导公式，看到形式直接反应出解法才行。

第三，养成检验的习惯。