高考数学冲刺：导数单调性判断，一个方法帮你理清思路

大家好，我是金博教育的一名数学老师。距离高考的日子越来越近了，最近很多同学都在后台问我导数这部分到底该怎么学。尤其是单调性判断这块内容，看起来公式不多，但考试的时候总是丢分。今天我想用一种不一样的方式，把这部分内容从头到尾给大家捋一遍。不是那种干巴巴的定理罗列，而是真正从做题的角度出发，告诉大家拿到一道题应该从哪里下手。

说真的，导数的单调性判断几乎是每年高考的必考内容，分值高、题型灵活，稍不注意就会出错。我带过很多届高三学生，发现大家在这个问题上有个共同点：定理背得挺熟，一做题就懵。所以今天这篇文章，我想先用费曼学习法的思路，把复杂的东西讲简单，然后再结合金博教育这些年总结的实战经验，给大家一套可操作的方法论。

一、为什么单调性判断这么重要？

在高考数学中，导数的应用是压轴大题的主力军。而单调性判断又是导数应用的基础中的基础。你想啊，如果一个函数在某个区间上是增是减都判断不清楚，后面的极值、最值、参数范围求解就更没法做了。

从近五年的高考真题来看，导数单调性相关的题目一般出现在压轴题或者倒数第二道大题的位置。全国卷的话，通常会和其他知识点综合考查，比如不等式证明、参数取值范围、函数零点等等。北京卷和江浙沪的卷子就更灵活了，经常会出一些看起来很吓人的题目，但拆解开来核心还是单调性判断。

我给大家统计过，如果这部分内容掌握扎实，在高考中至少能稳定拿到12到15分。这是什么概念？数学满分150分，12分就是8%的分值啊同学们。所以这部分内容，你必须拿下。

二、先把基本概念嚼烂——什么是单调性？

在正式讲导数之前，咱们先回到最本质的问题：什么是函数的单调性？

说白了，单调性就是描述函数"往哪边走"的一个性质。如果函数值随着自变量的增大而增大，我们就说这个函数在这个区间上是单调递增的。反之，如果函数值随着自变量的增大而减小，那就是单调递减。

举个例子，y = x²这个函数，在x < 0> 0的时候，随着x增大，y也增大。所以它在负半轴单调递减，在正半轴单调递增。这个例子虽然简单，但它说明了一个重要事实：一个函数可以在不同区间上有不同的单调性。

那怎么准确描述一个函数的单调性呢？数学上是这样定义的：

• 对于区间I内的任意两个点x₁
• 对于区间I内的任意两个点x₁f(x₂)，则f在I上单调递减

这个定义看起来很完美，但它有一个致命的问题：你不可能把区间里所有的点都两两比较一遍吧？那怎么办？这时候导数就闪亮登场了。

三、核心定理：导数和单调性的关系

这才是今天的重头戏。请大家记住下面这个定理，它就是单调性判断的"尚方宝剑"：

设函数y=f(x)在区间I上可导，则：

• f'(x) > 0 ⇒ f(x)在I上单调递增
• f'(x) < 0>单调递减
• f'(x) = 0 ⇒ f(x)在I上为常数

等等，我必须提醒大家一件事。这个定理有个容易被忽略的前提：f'(x)要在整个区间I上保持同号。什么意思呢？假如f'(x)在这个区间里有时候正有时候负，那函数在这个区间上就不是单调的了。

举个常见的反例。f(x)=x³这个函数，它的导数f'(x)=3x²。我们知道3x²是恒大于等于0的，而且在x=0处等于0。但关键是，它没有变号。所以f(x)=x³在整个实数域上是单调递增的。

但如果换成f(x)=x³-3x这样的函数，f'(x)=3x²-3=3(x+1)(x-1)。这个导数在x<-1的时候正，在-11的时候又变正。所以原函数在(-∞,-1)上递增，在(-1,1)上递减，在(1,∞)上递增。三个区间三种情况，这就是典型的"分段单调"。

四、实操步骤：拿到一道题该怎么下手？

现在我们有了理论基础，接下来金博教育的老师们给大家总结了一套标准化的解题流程。这套流程经过无数学生验证，成功率非常高。

第一步：求导数，别犹豫

不管三七二十一，先把导数求出来。但这里有个关键点：求导之后一定要化简。很多同学求完导就不管了，直接开始分析符号，这样很容易出错。

比如这道题：求f(x)=x⁴-2x²的单调区间。如果你求完导得到f'(x)=4x³-4x就停下了，后面的分析会很麻烦。但如果化简成f'(x)=4x(x²-1)=4x(x-1)(x+1)，是不是清晰多了？

第二步：找驻点，一个不漏

驻点就是导数等于0的点。在单调性判断中，驻点就是单调性可能发生变化的"分界点"。所以我们必须把所有驻点都找出来。

怎么找？解方程f'(x)=0就行。但要注意，定义域的端点有时候也很重要。比如，如果函数在某个点不可导，这个点也可能成为单调区间的分界。

还是用上面的例子，f'(x)=4x(x-1)(x+1)=0，解得x=0, x=1, x=-1。这三个点就是关键的分界点。

第三步：画数轴，标区间

把找到的关键点按从小到大的顺序标在数轴上，它们会把定义域分成若干个区间。每个区间内部，导数的符号都是不变的——这是达布定理告诉我们的。只要你不在驻点上，导数想变号都变不了。

继续上面的例子，关键点-1、0、1把数轴分成了(-∞,-1)、(-1,0)、(0,1)、(1,∞)四个区间。

第四步：代点测试，确定符号

在每个区间内随便取一个测试点，代入导数表达式，看结果是正还是负。

这样一来，结果就很清晰了：f(x)在(-∞,-1)和(0,1)上单调递减，在(-1,0)和(1,∞)上单调递增。

五、几种高频考法，你必须都会

说完基本方法，我们来看看高考中经常会怎么考这些内容。以下几种题型出现频率极高，大家要格外注意。

考法一：含参函数的单调性讨论

这是高考的"常客"。函数里带个参数a，导数的符号取决于参数的值，这时候你就要分类讨论。

典型题目可能是这样的：已知f(x)=x³+ax²+x+1，讨论其单调性。求导后得到f'(x)=3x²+2ax+1。这是一个二次函数，它的符号取决于判别式Δ=(2a)²-4*3*1=4a²-12。

当Δ<0> 当Δ=0即a=±√3时，f'(x)≥0且仅在一点为零，函数仍单调递增。
当Δ>0即|a|>√3时，f'(x)有两个根，函数在两根之间递减，其余区间递增。

这种题目最怕的就是讨论不全。所以金博教育的老师给大家一个建议：先把所有可能的临界情况列出来，再逐一分析。宁多勿少。

考法二：利用单调性比较大小

有时候题目不直接问你单调区间，而是给你两个函数值，让你比较它们的大小。这时候如果能构造出合适的函数，利用单调性来证明，往往事半功倍。

比如这道题：比较ln2/2和ln3/3的大小。直接算很麻烦，但如果你构造函数f(x)=lnx/x，求导后发现在x>e时函数递减。而2<3>e，所以f(2)>f(3)，即ln2/2>ln3/3。问题迎刃而解。

考法三：单调性与极值、最值综合

单调性是判断极值的基础。f'(x)由正变负，则f(x)取得极大值；由负变正，则取得极小值。而极值点就是单调区间的分界点。

在高考压轴题中，经常会让你先判断单调性，再求极值，最后求最值或者证明不等式。这几步是环环相扣的，任何一步出错都会导致后续全盘皆输。

六、这些坑，千万别踩

教学这么多年，我见过太多同学在同一个地方反复跌倒。下面这几个坑，希望你能绕着走。

第一个坑：忽略定义域。有些同学求完导数，找到驻点，直接就开始划区间，完全忘了题目给定的定义域。比如题目定义域是x>0，结果你在分析的时候把x<0>一定先用定义域把范围限定好。

第二个坑：驻点就是极值点。驻点是f'(x)=0的点，但驻点不一定是极值点。前面的f(x)=x³就是个例子，x=0是驻点，但函数在x=0附近并没有极值。判断极值还要看导数是否变号。驻点是必要条件，变号才是充分条件。

第三个坑：导数不存在的地方。有些函数在某些点不可导，但这些点也可能是单调区间的分界。比如f(x)=|x|，在x=0处不可导，但它显然是(-∞,0]递减、[0,∞)递增的分界点。不可导点也要纳入考虑范围。

七、给冲刺阶段的你几点建议

现在距离高考已经很近了，复习策略比复习内容更重要。

首先，一定要动手算。看十道题不如做一道题。很多同学觉得原理懂了就不需要再练了，结果考试的时候算错位置、算错符号，追悔莫及。每天至少保持两道导数综合题的练习量，保持手感。

其次，做好错题本。把每次做错的单调性判断题目整理在一起，分析到底错在哪里。是导数求错了？是驻点找漏了？还是符号判断错了？针对性地补强短板比盲目刷题有效得多。

最后，限时训练。高考压轴题给的时间有限，如果你在单调性判断上花费太多时间，后面根本做不完。建议大家在做综合卷的时候，给导数大题留出20到25分钟，而且要刻意训练自己在规定时间内完成的能力。

在金博教育的冲刺班里面，我们特别强调"限时模拟"和"错题复盘"这两个环节。很多同学按照这个方法坚持下来，最后阶段数学成绩都有明显提升。学习这件事，没有捷径，但有方法。

好了，今天关于导数单调性判断的内容就讲到这里。这部分内容确实有一定难度，但只要掌握了正确的方法，反复练习，拿下这部分分数完全没问题。高考是一场马拉松跑到最后的冲刺，稳住心态，用对方法，你一定可以。加油！