北京高一数学一对一辅导：三角函数诱导公式完全攻略

说实话，三角函数诱导公式这道坎，几乎 every 北京高一学生都得迈一回。我在北京带过的学生里头，十个有八个刚开始学这块的时候都是一脸懵圈。有个孩子跟我开玩笑说，他觉得诱导公式就是数学老师故意用来折磨人的——把一个简单的 sin30 变来变去，最后居然能算出个 cos60，这不是闲得慌吗？

但其实吧，诱导公式这玩意儿要是真掌握了，你会发现它简直是三角函数里的"万能钥匙"。今天咱就好好聊聊，诱导公式到底是啥，怎么记才不忘，到了考场上怎么用最省时间。

一、为什么高一学生总在诱导公式上栽跟头？

要解决问题之前，咱得先搞清楚问题出在哪儿。我总结下来，高一学生卡在诱导公式上，主要有三个原因。

第一个原因是知识跨度太大。初三学的三角函数多简单啊，就是 sin、cos、tan 在直角三角形里头比划比划，边对边、邻对边、斜对边，算个角度就行了。结果一上高一，课本啪叽一下就甩过来一堆公式：什么 sin(180°-α)=sinα，cos(90°+α)=-sinα，tan(180°+α)=tanα……学生心里肯定嘀咕：我这才刚学会走呢，你让我直接跨栏？

第二个原因是教材讲得太"干"。很多教材就是直接把六组公式列出来，然后丢一句"请同学们自行记忆"。问题是，你倒是告诉我为什么 sin(180°-α) 等于 sinα 啊？光让背不让理解，这不是为难人吗？

第三个原因更现实——老师没法针对性辅导。在学校里一个班四五十人，老师不可能挨个问你"哪儿没明白"。有的学生是记不住公式，有的学生是不知道啥时候用第一个公式，有的学生是公式记混了……但课堂上只能统一讲，学生有苦说不出啊。

这就是为什么现在越来越多家长选择一对一辅导的原因。在金博教育的课堂上，我们一般会先花二十分钟跟学生聊聊，看看他到底卡在哪个环节。找到症结所在，再针对性地补，效果完全不一样。

二、诱导公式到底是什么？一句话讲清楚

咱先把概念掰扯明白。诱导公式的"诱导"是啥意思？其实就是"转化"的意思——把一个不好算的角转化成好算的角。

你想啊，sin0°、sin30°、sin45°、sin60°、sin90°这些特殊角的三角函数值，咱是不是张口就来？但要是让你算 sin75°呢？好像不太记得精确值。sin15°呢？更懵了。

诱导公式的作用就是：当你遇到一个非特殊角的时候，你可以想办法把它"变"成特殊角，然后直接套数值就行。变形的依据是啥？就是角与角之间的代数关系——比如一个角和它的补角相差 180°，一个角和它的余角相加等于 90°，等等。

举个最简单的例子。sin30° 等于多少？0.5，对吧？那 sin150° 呢？你可能一时想不起来，但你想想，150° 和 30° 是啥关系？150° = 180° - 30°，对吧？它们相差一个 180° 的补角关系。那诱导公式就说了，sin(180°-α) = sinα，所以 sin150° 就等于 sin30°，也就是 0.5。怎么样，是不是一下就出来了？

这就是诱导公式的精髓：通过角与角之间的几何关系，把陌生角转化为熟悉角。

三、六组诱导公式的完整总结

好，现在咱们正式来看公式本身。诱导公式一共有六组，我把它们整理成一个表格，方便你对比记忆。

你可能会说，这么多公式，怎么记得住啊？别急，我后面会教你记忆技巧。现在你先混个脸熟，知道诱导公式总共就这六种变形模式就行。

不过有一点你需要注意：表格里我写的都是角度制（带°的），但其实数学上更多用弧度制。你只需要把 180° 换成 π，90° 换成 π/2，360° 换成 2π，公式一模一样。

四、金博教育的独门记忆法：口诀+图像双保险

光靠死记硬背，迟早会混。我在金博教育教学生的时候，一般会教两招：一招是记忆口诀，另一招是图像辅助。两者结合，想忘都难。

4.1 记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限

这个口诀应该是流传最广的了，但很多学生只会背，不知道啥意思。我来给你拆解拆解。

"奇变偶不变"里的"奇偶"指的是 90° 的倍数。假设你有一个角 α，现在要处理的角是 k×90°±α 这种形式（k 是整数）。如果 k 是奇数（1、3、5……），那函数名就要变：sin 变 cos，cos 变 sin，tan 变 cot。如果 k 是偶数（0、2、4……），函数名就不变。

举个例子。sin(90°+α)，90° 是 1 个 90°，k=1，是奇数，所以 sin 要变 cos，变成 cosα。对的，表格里就是这个结果。再看 cos(180°+α)，180° 是 2 个 90°，k=2，是偶数，所以 cos 不变，还是 cosα，但因为在第三象限所以符号要变，后面讲。

那"符号看象限"又是啥意思呢？就是你要把 α 当成一个锐角（0°-90° 之间），然后看 k×90°±α 最终落在哪个象限，再根据那个象限里三角函数的正负来判断符号。

举个例子。cos(90°+α)，我们把 α 当成锐角，90°+α 就在第二象限（因为 α 大于 0，所以 90°+α 大于 90°，但小于 180°）。第二象限里，余弦是负的。所以 cos(90°+α) 前面要加负号，结果是 -sinα。跟表格里写的一样。

再举一个。sin(180°+α)，180°+α 在第三象限（180° 到 270° 之间），第三象限正弦是负的，所以 sin(180°+α) = -sinα。没错。

这个口诀的好处是，你只需要记"奇变偶不变，符号看象限"这十个字，然后现场推导就行，不用背六组公式。不过刚开始用的时候，你可能会觉得推导有点慢。多练几次，速度就上来了，而且记得特别牢。

4.2 图像辅助：画个圆，一切一目了然

如果你觉得口诀还是抽象，那咱就使出第二招：画单位圆。单位圆是三角函数的"物理基础"，把图画出来了，公式自己就能推出来。

具体怎么画呢？你先画一个横轴是 x、纵轴是 y 的坐标系，然后画一个单位圆（半径为 1，原点在圆心）。单位圆和 x 轴正半轴的交点记为 A，这个点坐标是 (1,0)。

现在，任取一个角 α，让 OA 逆时针旋转 α 角度，得到点 P(x,y)。那么 sinα 就等于 y 坐标，cosα 就等于 x 坐标，tanα 就等于 y/x。这就是单位圆的定义。

现在你想算 sin(180°-α)，怎么办？你看，180°-α 意味着从 OA 开始，先转到 180° 那个位置（也就是 x 轴负半轴），再往回转 α 角度。得到点 P'，它的坐标是 (-x,y)，因为 y 坐标不变，x 坐标变负。所以 sin(180°-α) = y = sinα，cos(180°-α) = -x = -cosα。是不是跟公式一模一样？

用单位圆的好处是，你不用死记硬背，你只需要想象一下角度旋转之后点的位置变化，公式就出来了。而且这个图像法对以后学三角函数的图像、平移变换也特别有帮助。可以说，单位圆是三角函数的"万金油"，你值得拥有。

五、实战演练：诱导公式怎么用来解题？

光说不练假把式。咱现在来看几道典型例题，看看诱导公式在考场上到底怎么用。

5.1 例题一：基础计算题

题目：求 sin(120°)、cos(150°)、tan(210°) 的值。

这类题就是诱导公式最直接的用法，把非特殊角转化成特殊角。

先看 sin(120°)。120° = 180° - 60°，所以用补角公式：sin(180°-α)=sinα，这里 α=60°，所以 sin120°=sin60°=√3/2。

再看 cos(150°)。150° = 180° - 30°，补角公式：cos(180°-α)=-cosα，所以 cos150°=-cos30°=-√3/2。

最后 tan(210°)。210° 在第三象限，你可以看成 180°+30°，所以 tan(180°+α)=tanα，tan210°=tan30°=1/√3。或者你也可以用 210°=180°+30°=180°-(-30°)，用补角公式：tan(180°-α)=-tanα，这里 α=-30°，所以 tan(180°-(-30°))=-tan(-30°)=-( -tan30°)=tan30°=1/√3。两种方法结果一样。

5.2 例题二：化简题

题目：化简 sin(90°+α)cos(180°-α) + cos(90°+α)sin(180°-α)。

这看着有点复杂，但只要你把每一项都用诱导公式展开，就会发现其实很简单。

首先，sin(90°+α)=cosα（90°+α 公式），cos(180°-α)=-cosα（补角公式），cos(90°+α)=-sinα（90°+α 公式），sin(180°-α)=sinα（补角公式）。

代入进去：cosα × (-cosα) + (-sinα) × sinα = -cos²α - sin²α = -(cos²α + sin²α) = -1。

你看，诱导公式一层层剥开，最后居然简化成 -1，神奇吧？

5.3 例题三：证明题

题目：证明 tan(α+β) = (tanα + tanβ) / (1 - tanαtanβ)。

这道题看着跟诱导公式没关系，但其实要用到两角和的正弦余弦公式，而两角和公式的证明就需要诱导公式的帮忙。

我们知道 sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ，cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ。那 tan(α+β) 就等于 sin(α+β)/cos(α+β)，代入展开就是 (sinαcosβ+cosαsinβ)/(cosαcosβ-sinαsinβ)。

接下来，为了把分子分母都变成 tan 的形式，分子分母同时除以 cosαcosβ，得到 (tanα + tanβ)/(1 - tanαtanβ)。

哎，这里面有个关键步骤：分子分母同除以 cosαcosβ，为啥可以这么做？因为 cosα 和 cosβ 都不为零啊（要不然 tan 本身就没定义）。而 cosα/cosα=1，cosβ/cosβ=1，这些都是诱导公式里"偶不变"的基础应用——cos(-α)=cosα，所以 cosα/cosα=1 永远成立。

你看，诱导公式看着是独立的一块内容，其实它跟后面的和差化积、积化和差、二倍角公式都是有千丝万缕联系的。你现在基础打得好，以后学起来会轻松很多。

六、常见误区盘点：这几个坑千万别踩

教了这么多年书，我见过学生们在诱导公式上踩的各种坑。今天咱就盘点盘点，你以后看到了可千万绕着走。

• 第一个坑：把公式记混了。最常混的是补角公式和 180°+α 公式。补角公式是 sin 不变 cos 变号，180°+α 是 sin 变号 cos 也变号。很多学生写着写着就混了。解决办法：记口诀"奇变偶不变，符号看象限"，现场推导最保险。
• 第二个坑：忘记看符号。有的学生公式用对了，但最后符号错了。比如算 cos(90°+α)，公式是 cos(90°+α)=-sinα，有的学生写成 cos(90°+α)=sinα，把符号忘了。这就是"符号看象限"没做好。解决办法：养成习惯，动笔之前先判断角落在第几象限。
• 第三个坑：arcsin 和 sin 分不清。有的时候题目会问 arcsin(1/2) 等于多少，有的学生一看到 1/2 就想起 sin30°，直接写 30°。但 arcsin 的值域是 [-90°,90°]，所以 arcsin(1/2)=30° 是对的。但如果让你算 arcsin(-1/2)，那就是 -30°，不是 150°。这一步虽然不是诱导公式的内容，但经常跟诱导公式的题放在一起考，你得注意区分。
• 第四个坑：角度制弧度制混用。有的题目里用角度，有的用弧度，学生写着写着就把 90° 当成 90 用了，结果全错。比如 sin(π/2)=1 是对的，但 sin(π/2+1) 可不是 cos1 哦，π/2+1 的单位是弧度，1 弧度大概是 57°，所以 π/2+1 ≈ 147°，sin147°=sin(180°-33°)=sin33°，跟 cos1 完全不是一回事。

七、写给家长的话：在家怎么辅导孩子？

如果你是一个高中生家长，看完这篇文章想在家辅导孩子，我有几个建议。

首先，你别急着让孩子背公式。你先让孩子给你讲讲，啥叫诱导公式？诱导公式是干啥的？他要是能讲清楚"转化"这个核心概念，说明他理解了，理解了再背就快多了。

其次，你让他拿张纸，画个单位圆，然后推演几个公式给你看。推演对了，比背一百遍都管用。数学这东西，说到底是理解至上，记忆为辅。

第三，你给他出几道化简题，让他用诱导公式做。做完你别直接判对错，你问他："你这步为啥用这个公式？你怎么判断符号的？"他说得清楚，说明真会了；说不清楚，那就是还有地方没懂。

如果你发现自己给孩子讲不清楚，或者孩子死活就是记不住，那也别硬撑。专业的事交给专业的人。金博教育的一对一辅导，老师会根据孩子具体哪里薄弱，专门设计训练方案。比自己在家瞎折腾效率高多了。

八、结语

诱导公式这块内容，说难不难，说简单也不简单。关键在于你是不是真正理解了"为什么要用诱导公式"以及"怎么用诱导公式"。光死记硬背公式，短期可能有效，但一到考试就容易慌，容易出错。

我的建议是：理解优先，记忆辅助，多画图，多练习。如果你或者你家孩子在学诱导公式的时候遇到困难，不妨来金博教育试听一节课。我们的老师会用最适合孩子的方式，把这些公式讲透、讲活，让孩子真正做到举一反三。

三角函数是高中数学的基础之一，诱导公式更是基础中的基础。这块内容要是没夯实，后面的和差化积、积化和差、二倍角公式学起来会更吃力。趁现在还有时间，趁问题还没积累成堆，赶紧把它搞定。加油，你可以的。