高中数学排列组合分组分配问题，我当年也是被它虐过来的

说真的，排列组合这块内容，应该是高中数学里最让人抓狂的章节之一了。我记得当年学的时候，班上同学基本分成两派：一部分是觉得这玩意儿太抽象，完全不知道题目在问什么；另一部分是觉得公式好像懂了，但一做题就懵，尤其是那种"分组分配"的问题，答案总觉得自己算对了，结果一看标准答案，完全不是那么回事。

这篇文章我想把排列组合里的分组分配问题彻底讲透。不是那种干巴巴的罗列公式，而是真的把这背后的逻辑讲清楚。费曼学习法大家都听说过吧，就是用最简单的语言把一个概念讲给完全不懂的人听，如果对方能听懂，那说明你是真的懂了。所以我尽量用大白话，把那些看起来很高深的数学概念翻译成人话。

先搞懂基本概念，别急着做题

在聊分组分配之前，我们得先确认一下排列和组合这两个基本概念是不是真的理解了。这两个概念是整个章节的地基，地基不稳，后面全是空中楼阁。

排列的英文是Permutation，组合是Combination。简单来说，排列要考虑顺序，组合不考虑顺序。举个例子，假设你有三本书，A、B、C，要选两本出来排成一列。如果是排列问题，那么A在左B在右和B在左A在右，这是两种完全不同的情况；如果是组合问题，这两种情况就只是一种选法，因为不管怎么排，选的都是A和B这两本书。

用公式来表示的话，排列数P(n,k) = n!/(n-k)!，组合数C(n,k) = P(n,k)/k! = n!/(k!(n-k)!)。这里n!是n的阶乘，也就是1×2×3×…×n。组合数除以k!，其实就是把顺序的影响给消除了——因为同一组元素有k!种不同的排列方式，但在组合里我们把这k!种都算成同一种情况。

金博教育的老师在讲这部分的时候，经常用选人举例子。比如从5个同学里选3个参加比赛，如果比赛要求不同的人负责不同的项目，那就是排列问题，得考虑谁站哪个位置；如果只是选出这三个人参加就行，不分工种，那就是组合问题。这个例子我觉得特别直观，建议大家做题的时候也多想类似的生活场景。

什么是分组分配？问题到底在问什么

好，现在假设你已经把排列组合的基本功练扎实了。接下来我们要进入正题——分组分配问题。

分组分配是什么？用最通俗的话说，就是把一堆东西分成几堆，然后把这几堆东西分配给不同的人或者不同的容器。问题通常会这样表述：把m个不同的物品分成n个不同的组，每组有特定的数量要求，或者求分法有多少种。

这里有个关键点我必须强调：分组和分配是两回事。分组只是把东西分成堆，不涉及给谁的问题；分配则是把这已经分好的堆发给不同的对象。举个例子，把10个苹果分成两堆，每堆5个，这是分组；如果这两堆要分给小红和小明，而且小红和小明拿到的可以不一样，那就是分配问题了。

分组分配问题之所以难，就难在它需要分步骤考虑，而且每一步的规则可能还不一样。有些组是有区别的，比如分成"第一组"、"第二组"；有些组是没区别的，比如只是分成三堆，不说哪堆是第一堆哪堆是第二堆。这种区别直接会导致最终结果的巨大差异，很多人就是在这里栽了跟头。

均分和非均分：数字不一样的麻烦

分组分配问题首先可以按照分组的大小是否相同来分类。均分就是每个组的数量一样多，非均分就是每组数量不一样。

我们先看均分的情况。假设有6个不同的东西，要分成3个组，每组2个，而且这3个组是有区别的（比如分给甲、乙、丙三个人）。这种情况下应该怎么算？

第一步，先从6个里选2个给甲，有C(6,2)种选法；第二步，从剩下的4个里选2个给乙，有C(4,2)种选法；最后2个自然就是丙的，只有1种选法。所以总数是C(6,2)×C(4,2)×C(2,2)。

我们来算一下：C(6,2)=15，C(4,2)=6，C(2,2)=1，所以15×6×1=90种。

但这里有个问题，如果这三个组是没区别的，比如只是分成三堆，不说哪堆给谁，那上面的方法就重复计算了。因为在均分的情况下，比如分成A组、B组、C组这三堆，选{A,B}给甲{C,D}给乙{E,F}给丙，和选{C,D}给甲{A,B}给乙{E,F}给丙，其实是同一种分组方式，但在上面的算法里被算成了两种。

那怎么纠正这个重复呢？很简单，均分的情况下，如果有k个组的数量相同，那就要除以k!。在这个例子里，3个组每组2个，数量相同，所以要除以3!。正确的算法应该是C(6,2)×C(4,2)×C(2,2)/3! = 90/6 = 15种。

这个除法很多人会忘记，导致算出来的答案总是比标准答案大。如果你发现自己算的数比答案大，不妨想想是不是哪里需要除以阶乘。

非均分的情况：每组大小都不一样

非均分的情况下，因为每组的大小本身就不一样，所以不存在重复计算的问题。举个例子，把5个不同的东西分成三组，分别有1个、2个、2个——不对，这个其实是均分的变形，因为有两个组大小相同。真正完全非均分的应该是分成1个、2个、3个这样的组合。

比如把6个不同的东西分成三组，大小分别是1、2、3，而且组是有区别的。算法就是C(6,1)×C(5,2)×C(3,3) = 6×10×1 = 60种。如果组是没区别的，那就不用再除以什么了，因为1、2、3本身就不相同，不会有重复计数的问题。

这里我教大家一个小技巧：判断一个分组问题需不需要除以阶乘，就看最终分成的这些组之间有没有区别。如果组是有区别的（比如指定分给谁，或者叫第一组第二组），就不用除；如果组是相同的（比如只是分成几堆，不编号），而且有大小相同的组存在，那就需要除以这些相同大小组的数量的阶乘。

四种典型题型及解法总结

经过这么多年的教学观察，我把分组分配问题总结成了四种最典型的题型。每种题型都有固定的解题套路，记住了这四种，基本就能覆盖大部分考试题目了。

第一种：指定分组

这种题目最简单，就是把东西分好堆，然后指定分给谁。比如"把4本不同的书分给甲、乙、丙、丁四个人，每人一本"，这就是指定分组。

因为东西要分配给特定的人，所以每本书给谁是有明确指向的。第一本书有4个选择，第二本有3个，以此类推，所以总数是4! = 24种。这种题也可以用排列的思路来想：4本书排成一列，对应4个人，这是一种排列问题，所以是P(4,4) = 4!。

第二种：完全均分

完全均分就是所有组的大小都一样，而且可能需要分配给不同的人。比如"把6个不同的苹果平均分给3个人，每人2个"。

刚才我们算过类似的问题。算法是C(6,2)×C(4,2)×C(2,2)/3! = 90/6 = 15种。这里的3!是因为三个人在题目里是有区别的，我们需要除以3!来消除分配顺序的重复。

如果题目不问分给谁，只问"分成3堆，每堆2个有多少种分法"，那答案也是15种，因为组没区别，而且大小相同，需要除以3!。

第三种：部分均分

这是最复杂的一种情况，组的大小有相同的也有不同的。比如"把7个不同的东西分成三组，分别有1个、3个、3个"。

这种情况怎么处理？首先，1个的那组是单独的，不存在均分问题。两个3个的组是均分的，所以需要除以2!。算法是C(7,1)×C(6,3)×C(3,3)/2! = 7×20×1/2 = 70种。

这里有个容易错的地方：很多人会先选那个1个的组，然后再从剩下的6个里选3个给第一个3人组，最后剩下的3个自动成为第二个3人组。这种做法是对的，但因为两个3人组大小相同，所以被重复计算了，需要除以2!来校正。

第四种：定向分配

定向分配的意思是东西要分给特定的人，但分配的数量可能有要求。比如"把5个不同的礼物分给3个小朋友，每人至少得1个"，这就属于定向分配问题。

这种题通常需要先考虑分组，再考虑分配。5个不同的礼物分给3个人，每人至少1个，可能的分法是(3,1,1)、(2,2,1)这两种数量组合。

对于(3,1,1)这种情况：先从5个里选3个给第一个小朋友，C(5,3)=10种；剩下的2个分给另外两个小朋友，有2种分法（因为两个人是不同的）。所以这种分法有10×2=20种。

对于(2,2,1)这种情况：先选那个得1个的小朋友，有C(3,1)=3种选择；然后从5个里选1个给他，C(5,1)=5种；剩下的4个分成两个2个的组，均分且组有区别，所以是C(4,2)×C(2,2)/2! = 6×1/2=3种。所以这种分法有3×5×3=45种。

两种情况加起来，20+45=65种。这种题目做起来步骤比较多，需要耐心，漏掉任何一种情况都会导致答案错误。

易错点大揭秘：为什么你总是算错

教了这么多年书，我发现学生在分组分配这个问题上，错误类型其实很集中。把这几个易错点搞清楚了，至少能少丢一半的分。

易错点一：顺序问题没搞清楚

排列和组合最核心的区别就是顺序。P(5,2)=20，C(5,2)=10，两者相差一倍。很多题目如果你用P还是用C搞错了，后面的计算肯定全错。

怎么判断到底用P还是用C？一个简单的方法：调换两个东西的位置，如果新情况和原来在题目里被认为是同一种情况，那就用C；如果被认为是不同情况，那就用P。比如选两个人去参加比赛，A和B都去了，顺序不影响结果，用C；选两个人分别担任班长和副班长，A当班长B当副班长和B当班长A当副班长是两种情况，用P。

易错点二：均分重复计算

这个我们在前面讲过了。当几个组大小完全相同，而且组与组之间没有区别的时候，必须除以这些相同组的数量的阶乘。

比如把8个东西分成4组，每组2个，如果不除以4!，结果会多算24倍。有个学生曾经问我，说他算出来是C(8,2)×C(6,2)×C(4,2)×C(2,2)=28×15×6×1=2520种，但标准答案是105种，问我为什么差这么多。我说你除以4!试试，2520÷24=105，对了。他才恍然大悟，说一直搞不懂为什么要除。

这个除法的本质是因为在选的时候，比如先把A、B分到第一组和把C、D分到第一组，在题目里应该是同一种分组方式，但在你的计算里被算成了不同的两种。

易错点三：遗漏某些情况

这种错误主要出现在分类讨论的时候。比如分东西每人至少一个，你可能只考虑了(4,1,1)的情况，忘了(3,2,1)的情况，导致答案少了一半。

解决这个问题的办法是：在动手计算之前，先把所有可能的数量分配情况列出来，确保不遗漏。枚举的时候可以从最大数开始枚举，比如对于总数为6、分成3组的情况，可以枚举为(4,1,1)、(3,2,1)、(2,2,2)，这样就不会漏了。

易错点四：组有没有搞混

组有没有区别这个问题，很多学生容易搞混。题目如果说"分成3堆"，那组是没区别的；如果说"分给甲、乙、丙三个人"，那组是有区别的。

举个具体的例子：把4个不同的东西分成两组，每组2个。如果组没区别，答案是C(4,2)/2! = 6/2 = 3种；如果组有区别（比如分给两个人），答案是C(4,2)×C(2,2)/1 = 6种。同样的4个东西，只是题目说法不一样，答案就差一倍。

金博教育的老师教了一个记忆方法：看到"分给不同的人"、"分到不同的盒子里"、"第一组第二组"这种表述，组就是有区别的；看到"分成n堆"、"分成n组"这种表述，组就是没区别的。用这个方法去判断，基本不会出错。

例题精讲：手把手教你分析一道题

现在我们来看一道具体的题目，这道题综合考察了前面讲的很多知识点。

题目：有6本不同的书，分给甲、乙、丙三个人，要求每人至少得一本，共有多少种分法？

分析：首先，6本不同的书分给3个不同的人，每人至少一本。我们需要考虑所有可能的数量分配情况。可能的组合有：(4,1,1)、(3,2,1)、(2,2,2)这三种。

对于(4,1,1)这种情况：先选谁得4本书，有C(3,1)=3种选择；然后从6本书里选4本给这个人，C(6,4)=15种；剩下的2本书分给另外两个人，每人一本，有2! = 2种分法。所以这部分有3×15×2=90种。

对于(3,2,1)这种情况：三个人得的本书都不一样，所以不存在重复计算问题。选书的过程是C(6,3)×C(3,2)×C(1,1)=20×3×1=60种。这里要注意，因为三个人是不同的，所以选书的顺序对应了不同的人，不需要额外调整。

对于(2,2,2)这种情况：这是完全均分。算法是C(6,2)×C(4,2)×C(2,2)/3! = 15×6×1/6=15种。

把三种情况加起来：90+60+15=165种。所以这道题的答案是165种。

这个过程告诉我们，做分组分配的题目，分类讨论是非常重要的。每一种数量分配的情况都要考虑到，而且要分别计算再相加。任何一种情况漏掉了，答案都会错。

写在最后

排列组合这部分内容，确实需要花时间去消化吸收。不是说你把公式背下来就能做题了，你得真正理解每一步为什么要这么算。

很多人觉得数学就是刷题，但其实理解比刷题更重要。如果你能把一个问题的前因后果都想清楚，知道为什么要用这个公式而不是那个公式，什么时候需要乘什么时候需要除，那你做题的正确率自然会上去。费曼学习法的核心就是这个——讲不清楚的地方，就是你没懂的地方。

学习这章内容的时候，我的建议是：先别急着做难题，把基本概念搞清楚，把几种典型题型的解题步骤记牢，然后再逐步增加难度。遇到不会的题目不要着急看答案，先自己想，想不出来再看看答案卡在哪一步，然后再合上答案自己重新做一遍。这样反复几次，知识点才能真正变成你自己的。

如果学习过程中遇到什么问题，也可以随时来问。数学这东西，有时候就是一层窗户纸，捅破了就很简单。祝你学习顺利。