二次根式化简求值：初中数学里那个"看着烦，做起来有意思"的知识点

说实话，我在辅导班带过这么多年数学，发现一个挺有意思的现象：每次讲到二次根式这个章节，班上孩子的表情就开始微妙起来——有的是一脸懵圈，有的是眉头紧锁，还有的直接趴在桌上假装看窗外。你要问他们为什么这样，他们保准会告诉你："老师，这东西化来化去的，到底有什么用啊？"

我特别理解这种感受。当年我学二次根式的时候，也觉得这东西挺抽象的，根号里面套根号，根号外面套根号，算来算去把自己都绕进去了。但后来随着数学学得越来越深，我才慢慢意识到，二次根式其实是初中数学里特别重要的一个工具。你现在觉得它烦，等到了高中学指数函数、对数函数，甚至到了大学学微积分，你会发现根号这东西无处不在。与其那时候再回来补课，不如现在就把基础打扎实。

今天这篇文章，我想用一种比较实在的方式，跟大家聊聊二次根式的化简和求值。我不会一上来就扔公式，而是从最基本的东西说起，逐步深入。文章里会讲到二次根式的基本性质、常见的化简方法、求值的技巧，还有一些同学们容易踩的坑。如果你正在上初中，或者家里有上初中的孩子，相信这篇文章会对你有帮助。

什么是二次根式？先把这个概念吃透

咱们先来弄清楚一个最基本的问题：到底什么是二次根式？

从定义上说，形如√a（a≥0）的式子叫做二次根式。那个看起来像小勾勾的符号就是根号，根号下面那个数叫做被开方数。简单理解的话，二次根式就是"给一个数找个平方根"的运算。比如√4等于2，因为2的平方是4；√9等于3，因为3的平方是9。这个大家都懂，没问题。

但这里有几个关键点需要特别注意，我每次上课都会反复跟学生强调。第一点，被开方数必须是非负数。什么意思呢？√(-4)在实数范围内是没有意义的，因为不存在任何一个实数的平方等于-4。所以当你看到根号里面是负数的时候，这个式子本身就是有问题的，直接判错就行。第二点，二次根式的结果也是非负的。√4只能等于2，不能等于-2，因为根号这个符号本身就被定义为一个非负的运算结果。这一点很多同学会搞混，尤其是做题的时候容易出错。

我再给大家举几个例子，帮助理解。√25等于5，√0.25等于0.5，√(1/4)等于1/2。这些都是常见的二次根式，计算起来也比较简单。但如果是√8呢？8不是完全平方数，直接开平方开不出整数，这时候就需要化简了——这也就是咱们后面要重点讲的内容。

二次根式的那些性质，你得烂熟于心

想要做好二次根式的化简和求值，你必须把它的几个基本性质记清楚。这些性质就像是工具箱里的工具，你只有把工具都认全了，做题的时候才能知道该用哪个。

性质一：(√a)² = a（a≥0）。这个性质最简单，一个数先开平方再平方，等于它自己。比如(√5)²就等于5，(√0.7)²就等于0.7。这个性质在化简含有平方的根式时特别有用。

性质二：√(a²) = |a|。这个性质稍微绕一点，要注意区别。根号里面的是一个数的平方，根号外面没有其他运算的话，结果应该是这个数的绝对值。比如√(5²)等于|5|等于5，这个没问题；但如果是√((-3)²)，结果应该是|-3|等于3，而不是-3。很多同学在这里会出错，根号一看到负数就慌了，其实只要记住先平方再开根号，结果一定是正的。

性质三：√a × √b = √(ab)（a≥0，b≥0）。这个是乘积的二次根式等于二次根式的乘积。反过来也成立，√(ab)可以拆成√a乘以√b。这个性质在化简复杂根式的时候特别好用，是核心工具之一。

性质四：√a ÷ √b = √(a/b)（a≥0，b>0）。这个是商的二次根式等于二次根式的商。分母b不能等于0，这是基本常识。另外要注意，如果b是负数怎么办？前面说过，被开方数必须非负，所以这种情况下式子本身就不成立，不用考虑。

这四个性质看起来简单，但想要灵活运用，需要做大量的练习。我建议同学们把这四个性质写在小卡片上，随时拿出来看，直到形成条件反射。看到一个二次根式的题目，脑子里就能自动弹出相关的性质，这才是真正的掌握。

化简二次根式：手把手教你几招实用技巧

化简二次根式可以说是这部分内容的核心技能。什么是化简？简单来说，就是把一个复杂的二次根式变成更简单、更整洁的形式。什么样的形式算是"最简"呢？有两个标准：第一，被开方数不含分母；第二，被开方数中不含能开得尽的因数。

让我先从最基础的化简方法讲起：把被开方数中的完全平方因子开出来。举个例子，比如化简√18。18可以分解成9乘以2，9是完全平方数。所以√18就等于√(9×2)等于√9乘以√2等于3√2。这样一来，根号里只剩下一个不能继续分解的2，式子就化简完成了。

再比如√72。72等于36乘以2，36是6的平方，所以√72等于√(36×2)等于6√2。这个方法的关键在于，你需要快速判断被开方数里有哪些完全平方因子。这就需要你对常见的完全平方数比较敏感：1、4、9、16、25、36、49、64、81、100……这些数都要一眼就能认出来。

那如果被开方数比较大怎么办？比如√200。很多同学看到200就懵了，其实分解一下就好办了。200等于100乘以2，100是10的平方，所以√200等于10√2。思路都是一样的：找最大的完全平方因子，然后开出来。

分母有理化：这个技巧特别重要

除了上面讲的化简，有时候我们还需要处理分母含有根号的情况，这就涉及到"分母有理化"这个技巧。什么叫有理化？简单来说，就是把分母里的根号消掉，让分母变成一个有理数。

举个例子，假设我们要化简1/√2。分母里有个√2，看着不舒服。怎么办？我们给分子和分母同时乘以√2，这样分母就变成√2乘以√2，等于2。整个式子就变成了(1×√2)/(√2×√2)等于√2/2，看起来就清爽多了。

再比如3/(2√5)，要化简这个式子。同样，给分子和分母同时乘以√5。分子变成3√5，分母变成2×5等于10，结果就是3√5/10。有的时候化简完可能还能约分，但这里3和10没有公因数，所以这就是最终结果。

如果分母是一个和的形式呢？比如1/(√3+1)，这种情况稍微复杂一点。方法是找它的有理化因式。√3+1的有理化因式是√3-1，因为(√3+1)(√3-1)等于3-1等于2，是一个有理数。所以给分子分母同时乘以√3-1，分子变成1×(√3-1)，分母变成(√3+1)(√3-1)等于2，结果就是(√3-1)/2。

分母有理化在后续学习中非常重要，比如学分式运算、函数图像的时候都会遇到。所以这个技巧一定要练熟。

复合二次根式的化简

还有一种情况比较特殊，就是根号里面还有根号，比如√(2+√3)这样的式子。这种式子叫做复合二次根式，化简起来需要一定的技巧。

有一种常用的方法是把复合二次根式表示成两个简单根式的和或差。假设√(2+√3)可以表示成√m + √n的形式，然后我们想办法求出m和n的值。具体做法是把(√m + √n)²展开，得到m + n + 2√(mn)。这个结果应该等于2+√3，所以对应起来，m+n=2，2√(mn)=√3。解这两个方程，可以得到m和n分别是1/2和3/2。所以√(2+√3)等于√(3/2) + √(1/2)等于(√6 + √2)/2。

这种方法不是所有的复合二次根式都能用，需要具体分析。但它提供了一种思路，说明看起来很复杂的根式，经过化简可能变得很简单。这也是数学的魅力之一——看似复杂的东西，往往有简单的内核。

求值的那些题目，到底在考什么

说完化简，我们再来说说求值。二次根式的求值题目类型挺多的，我给大家归归类，看看常见的几种题型。

第一类：直接计算型。这类题目一般会给出具体的数值，让你直接计算。比如计算√81 + √16，答案就是9+4=13。这种题目最简单，只要你会开平方就行，属于送分题。

第二类：先化简再计算型。题目给出的根式需要先化简，然后再计算具体数值。比如计算√48 + √12。先化简，√48等于4√3，√12等于2√3，加起来等于6√3。如果题目要求小数形式，再计算6×1.732≈10.392。这类题目考查的就是你的化简能力。

第三类：条件求值型。这是考试中最常见，也最容易丢分的题型。题目会给出一些条件，比如a=√3+1，b=√3-1，然后让你求a² + b²的值，或者求1/a + 1/b的值。这种题目需要你先把要求的式子化简，然后代入条件计算。

我举个例子。已知x=√2+1，求x² - 2x + 1的值。直接代入的话，(√2+1)² - 2(√2+1) + 1 = (2 + 2√2 + 1) - 2√2 - 2 + 1 = 3 + 2√2 - 2√2 - 2 + 1 = 2。这样算虽然能得出答案，但比较繁琐。更好的方法是先观察，x² - 2x + 1其实就是(x-1)²。x-1等于√2+1-1等于√2，所以(x-1)²就等于(√2)²等于2，一秒钟出答案。这就是化简思路的重要性。

第四类：利用公式求值型。有些题目需要你记住一些特定的公式。比如(a+b)² = a² + 2ab + b²，(a-b)² = a² - 2ab + b²，a² - b² = (a+b)(a-b)这些公式，在求值的时候经常用到。把根式看成整体，灵活运用公式，能让计算变得简单很多。

同学们最容易犯的错误，我帮你们总结了

带这么多年学生，我发现有些错误是特别高频的，大家可以对照一下，看看自己有没有这些问题。

第一个错误：符号问题。根号的结果一定是正的，但很多同学算着算着就忘了。比如√(-3)²，有的同学直接写-3，这就是错的。(-3)²等于9，√9等于3，不是-3。这种错误特别可惜，明明会做，但因为符号问题丢分。

第二个错误：运算顺序搞混。有的同学看到√a + √b，就直接写成√(a+b)，这是完全错误的。根号是一个运算符号，必须先算里面的内容，再开方。√4 + √9等于2+3等于5，但√(4+9)等于√13，这两个完全不一样。这种错误属于概念不清，一定要纠正过来。

第三个错误：分母有理化漏项。做分母有理化的时候，有的同学只给分子乘以根号，忘了分母也要乘。结果分子分母比例不一致，答案就错了。比如1/√2，有的同学写成√2/2，这是对的；但如果写成(1×√2)/√2，分母还是√2，那就错了，因为分母没有变化。

第四个错误：化简不彻底。比如√18，有同学化简成3√2，这个是对的。但有的同学化简成√9×√2，这个就不能算完全化简，因为√9还能继续开成3。化简一定要化到最简形式，根号里面不能含有能开得尽的因数。

怎么学才能真正掌握？给家长的建议

有些家长会问我：老师，孩子这部分内容学得挺费劲的，回家作业也磨蹭，我们家长也帮不上忙，到底该怎么办？

我的建议是这样的。首先，二次根式这个知识点，确实需要一定的时间来消化，不要指望学一遍就完全掌握。如果孩子在学校学完之后做题还是磕磕绊绊，这是正常现象，不是孩子笨，也不是老师没教好，只是需要更多的练习来形成熟练度。

其次，家长可以帮助孩子建立一个"错题本"，把每次做错的题目整理在一起，分析一下到底错在哪里。是概念不清，还是计算错误，还是方法不当？针对性地改正比盲目刷题更有效。

第三，可以让孩子试着给别人讲讲这道题怎么做的。如果他能讲清楚，说明真的理解了；如果讲得磕磕绊绊，卡住的地方就是还没掌握的地方。这就是费曼学习法的核心——教是最好的学。

在我们金博教育的辅导班上，我通常会让学生先自己做例题，然后讲解思路，最后再独立练习。遇到普遍性的困难，我会换一种方式再讲一遍，直到大多数学生都能理解。数学这个东西，有时候换一种说法就想通了，不用着急。

写在最后

二次根式这个章节，看起来是初中数学里不起眼的一小部分，但它实际上是个承上启下的知识点。往上学，它和一元二次方程、函数都有联系；往深学，它和幂运算、指数函数都是一家人。把二次根式学扎实了，后面的学习会轻松很多。

如果你家孩子正在为二次根式发愁，不妨让他多看看课本上的例题，把基本性质反复读几遍，然后做一些化简练习。化简这件事，真的是做得多了就有感觉了。一开始可能需要分解被开方数，思考哪些是完全平方数，但练到最后，看到√50就能立刻反应出是5√2，根本不用多想。这种熟练度是练出来的，不是想出来的。

学习数学这件事，急不得，但也怕拖。有问题及时解决，别攒着。攒着攒着，问题就变成大山了。有需要的话，可以来我们金博教育的辅导班看看，我们有专门针对二次根式的专题训练，帮助孩子们把这部分内容真正吃透。

希望这篇文章对你有帮助。如果觉得有用，欢迎分享给其他需要的家长和孩子。祝学习顺利！