高三数学一对一补习：数列通项公式那些事儿

记得我当年学数列的时候，公式记了一堆，题目还是不会做。后来才慢慢明白，学数列不是背公式，而是要理解通项公式背后的逻辑。高三这一年，很多同学在数列这里栽跟头，其实不是你们不聪明，而是没人把这里面的门道给大家讲透。今天就结合我这些年的教学经验，跟大家聊聊数列通项公式到底该怎么学。

在金博教育的数列专题课上，我经常跟学生说的一句话就是：数列通项公式就是数列的"基因"。知道了通项公式，你就知道了数列的"性格"——它是匀速增长的，还是疯狂扩张的，到第几项会超过某个数，这些都能从通项公式里读出来。

什么是数列通项公式？别被定义吓到

从课本上的定义来说，数列是按照一定顺序排列的一列数，而通项公式就是第n项aₙ关于n的表达式。听起来有点绕口，对吧？我给大家翻译成人话：通项公式就是一个"机器"，你把项数n扔进去，它就吐出对应的项aₙ来。

举个例子，等差数列2，5，8，11，14……，它的通项公式是aₙ = 3n - 1。你想求第100项？把n=100带进去，3×100-1=299，第100项就是299。是不是特别简单？这就是通项公式的魅力——知道了规律，第几项都能算。

但问题在于，题目不会直接把通项公式给你。它会给你一些零散的条件，让你自己推导出通项公式。这才是真正考验功夫的地方。

高考必考的两大类数列

高考数学中，数列主要考两类：等差数列和等差比数列。这两个概念一定要分清楚，很多同学学到最后还混淆，那就太可惜了。

等差数列：均匀变化的"老实人"

等差数列的特点是"每后一项减去前一项，差都是一样的"。这个差叫做公差，通常用字母d表示。比如刚才说的2，5，8，11……，相邻两项的差都是3，所以d=3。

等差数列的通项公式是aₙ = a₁ + (n-1)d。这里a₁是首项，d是公差，n是项数。这个公式一定要烂熟于心，因为考试中百分之八十的等差数列题目都要用到它。

我给大家推导一遍，加深印象。假设首项是a₁，第二项a₂ = a₁ + d，第三项a₃ = a₂ + d = a₁ + 2d，第四项a₄ = a₃ + d = a₁ + 3d……以此类推，第n项就是a₁加上(n-1)个d，所以就是a₁ + (n-1)d。推导一遍之后，是不是觉得这个公式特别合情合理？

等差数列还有一些常用的性质，比如m+n=p+q时，aₘ + aₙ = aₚ + a_q。这个性质在求和的时候特别好用，一定要记住。

等比数列：指数增长的"激进派"

等比数列的特点是"每后一项除以前一项，比值都是一样的"。这个比值叫做公比，用字母q表示。比如数列3，6，12，24，48……，相邻两项的比值都是2，所以q=2。

等比数列的通项公式是aₙ = a₁·qⁿ⁻¹。同样是首项a₁，公比q，项数n。和等差数列对比一下，等差是"加"，等比是"乘"，这个区别要时刻记在心里。

等比数列有一个特别容易出错的地方：q的取值。当q=1时，数列是常数列，每一项都一样。当01时，数列不断变大。当q<0>

推导通项公式的常见方法

这部分是整篇文章的核心，也是同学们最需要掌握的内容。考试中题目不会直接告诉你数列类型，你需要根据已知条件一步步推导。以下几种方法是高考中的常客，每一种都要练到滚瓜烂熟。

累加法：适用于后项减前项有规律的情况

当题目给出aₙ₊₁ - aₙ = f(n)这样的形式时，用累加法。比如aₙ₊₁ - aₙ = 2n，要求aₙ。

具体怎么做呢？我们把n=1,2,3…n-1代入，得到n-1个式子：a₂-a₁=2×1，a₃-a₂=2×2，a₄-a₃=2×3……aₙ-aₙ₋₁=2×(n-1)。把这些式子左边右边分别相加，左边就剩下aₙ - a₁，右边是2(1+2+3+…+n-1)。

1到n-1的和是多少？用等差数列求和公式，S = (首项+末项)×项数÷2，所以和是(1+(n-1))×(n-1)÷2 = n(n-1)/2。右边就是2×n(n-1)/2 = n(n-1)。所以aₙ - a₁ = n(n-1)，即aₙ = a₁ + n(n-1)。

累加法的精髓在于"化整为零，零存整取"。虽然每一步很简单，但加在一起就能解决复杂问题。

累乘法：适用于后项除以前项有规律的情况

当题目给出aₙ₊₁/aₙ = f(n)这样的形式时，用累乘法。比如aₙ₊₁/aₙ = n+1，要求aₙ。

同样地，代入n=1,2,3…n-1，得到n-1个式子：a₂/a₁=2，a₃/a₂=3，a₄/a₃=4……aₙ/aₙ₋₁=n。把这些式子全部乘起来，左边剩下aₙ/a₁，右边是2×3×4×…×n。

右边的乘积从2到n，共n-1个数，这个乘积就是n!÷1，也就是n!。所以aₙ/a₁ = n!，即aₙ = a₁·n!。

构造法：等差等比的"变形金刚"

构造法稍微难点，但特别有用。当数列既不是等差也不是等比，但通过变形可以转化为等差或等比时，就用构造法。

比如已知aₙ₊₁ = 2aₙ + 3，首项a₁=1。这种形式我们可以试着把它构造成等比数列。假设aₙ₊₁ + k = 2(aₙ + k)，展开右边是2aₙ + 2k。左边是aₙ₊₁ + k。比较aₙ₊₁ = 2aₙ + 3和aₙ₊₁ = 2aₙ + 2k - k，要让两边相等，需要2k - k = 3，即k=3。

所以aₙ₊₁ + 3 = 2(aₙ + 3)。令bₙ = aₙ + 3，则bₙ₊₁ = 2bₙ，这是公比为2的等比数列！b₁ = a₁ + 3 = 4，所以bₙ = 4·2ⁿ⁻¹ = 2ⁿ⁺¹。故aₙ = bₙ - 3 = 2ⁿ⁺¹ - 3。

构造法的关键在于找到那个合适的k。这个k怎么找？把等式写成aₙ₊₁ + k = p(aₙ + k)的形式，比较系数就能解出k。多练几道题就有感觉了。

特征根法与递推公式法

对于更复杂的递推关系，比如aₙ₊₁ = paₙ + qaₙ₋₁，这时候需要用特征根法。不过这种题目在高考中属于较难的题目，基础薄弱的同学可以先跳过，把前面三种方法练熟再说。

特征根法的基本思路是：对于递推式aₙ₊₁ = paₙ + qaₙ₋₁，假设aₙ = rⁿ，代入得r² - pr - q = 0。解这个特征方程得到根r₁、r₂，然后通项公式为aₙ = Ar₁ⁿ + Br₂ⁿ，再用初始条件确定A和B。

这块内容如果大家有需要，可以在金博教育的数列专题班里详细学习，老师会用更多例题帮大家理解。

同学们最容易犯的错误

教了这么多年数学，我总结了几个同学们在数列通项公式上最容易踩的坑，大家一定要避开。

• 公式记错：等差和等比公式最容易混淆。等差是a₁ + (n-1)d，等比是a₁·qⁿ⁻¹。一个是加法，一个是乘法，考试时一紧张就写混了。建议大家默写几遍，确保不会搞反。
• 项数搞错：比如求第n项用aₙ，求第n+1项要用aₙ₊₁，不要把n和n+1搞混。很多同学在累加累乘的时候，累加的项数比实际少一项或者多一项，结果全错。
• 公比符号错误：等比数列的公比q可以是负数，这时候数列符号会正负交替。很多同学算出q=-2就懵了，不知道怎么处理。其实不用担心，照样用公式aₙ = a₁·qⁿ⁻¹计算就行。
• 初始条件遗漏：求通项公式的时候，初始条件a₁或者a₂一定要用到。很多同学推到一半忘了初始条件，结果公式里还带着未知数。

为什么一对一辅导效果好

在学校里，一个班四五十个学生，老师只能按统一的进度讲课。但每个学生对数列的理解程度不一样：有的同学等差数列还没搞明白，有的同学已经在钻研特征根法了。这种情况下，一对一辅导的优势就体现出来了。

在金博教育的一对一数列专题课上，老师会先通过几道诊断题摸清你的底细——你是公式记不住，还是方法不会用，还是计算总是出错？找到问题所在之后，针对性地训练，效率比上大课高很多。

而且一对一课堂的氛围比较轻松，有什么不懂的可以随时问，不用担心跟不上或者不好意思。我在金博教育带过的学生里，很多都是原来在学校听数列课像听天书，来这里上了几次一对一之后，突然就开窍了。其实不是他们变聪明了，而是老师找到了适合他们的讲解方式。

给高三同学的一些建议

数列这块内容，在高考中一般是两道小题加一道大题，大概20分左右。难度中等偏上，但只要方法得当，拿满分不是不可能。

现在的复习节奏应该是：先把等差等比的公式和性质嚼烂，然后练习累加累乘这两种基本方法，最后再挑战构造法和特征根法。做题不在多，在于每道题都要弄懂背后的逻辑。做完一道题，问自己几个问题：这道题考的什么类型？用的是什么方法？还有没有其他做法？这样才算真正把这道题吃透了。

如果在学校里有些问题没搞明白，或者做题总是出错，不妨趁现在还有时间，找个一对一老师好好补一补。高三这一年时间很宝贵，浪费在走弯路上太可惜了。

学习数列就像走一条山路，弯路是难免的，关键是找到正确的方向。希望这篇文章能帮你少走一些弯路，也希望你在高三这最后一年里，学习顺利，考上理想的大学。