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数列通项公式绝对是高考数学里的"常驻嘉宾"，不管是全国卷还是各省市自主命题，几乎年年都会考到。很多同学觉得这部分内容抽象难懂，刷了很多题还是找不到解题规律。今天咱们就坐下来聊聊，怎么系统性地搞定数列通项公式这个"硬骨头"。
在金博教育的多年教学中，我发现同学们最大的困惑不是记不住公式，而是面对题目时不知道该用哪个公式、从哪里入手。所以这篇文章我会从最基础的概念出发，把每种数列的求法讲透，再配上典型例题，让你能形成自己的解题思路。
简单来说，数列就是一串按一定规律排列的数，比如1、3、5、7、9...这样一个一个排下去。而通项公式就是用一个数学式子把这串数全部表示出来的方法。找通了通项公式，你就相当于找到了打开这串数的"万能钥匙"。
举个例子，刚才说的1、3、5、7、9这串数，你可能一眼就看出来了，这是奇数数列，通项公式就是。当n=1时，2×1-1=1；n=2时，2×2-1=3；n=3时，2×3-1=5，以此类推，所有项都能算出来。
数列的核心在于"规律"，而我们的任务就是从题目给出的有限信息中，把这个规律挖掘出来。高考中常见的数列类型主要有四类：等差数列、等比数列、由递推关系给出的数列，以及一些比较"奇葩"的特殊数列。接下来我们一类一类地攻克。
等差数列是所有数列里最"守规矩"的，它的特征很鲜明——相邻两项的差始终相等。这个相等的差叫做公差，通常用字母d表示。
通项公式：如果首项是a₁，公差是d，那么第n项aₙ的公式是：
| 公式 | aₙ = a₁ + (n-1)d |
这个公式怎么来的呢？你可以这样理解：第二项比第一项多了d，第三项又比第二项多了d，所以第n项就比第一项多了(n-1)个d，加起来就是a₁加上(n-1)d。
等差数列的考题通常不会直接让你套公式，而是会设置一些"障眼法"。比如给出前几项让你求通项，或者给出某一项的数值让你求首项和公差。下面这道题很经典：
已知等差数列{an}中，a₃=7，a₇=19，求a₅。
很多同学一看到就想着先求首项和公差，其实有更快的办法。在等差数列中，a₅正好是a₃和a₇的等差中项，因为(3+7)÷2=5。所以a₅=(a₃+a₇)÷2=(7+19)÷2=13。这招在选择题里特别省时间。
等差数列还有一些常用性质需要记住：
等比数列的特点是相邻两项的比值始终相等，这个比值叫公比，用字母q表示。和等差数列类似，等比数列也有一个标准通项公式。
| 公式 | aₙ = a₁·q(n-1) |
这里要特别注意公比q的几种特殊情况。当q=1时，数列所有项都相等；当q=-1时，数列会在正负之间交替；当|q|<1>1时，数列会不断变大。这些性质在判断数列收敛性的时候很有用。
等比数列的"坑"主要在计算上。尤其是涉及到负数的指数运算时，稍不留神就会算错。比如(-2)³=-8，但(-2)⁴=16，符号和指数的奇偶性有很大关系。建议在草稿纸上把每一步都写清楚，别在心算上偷懒。
还有一个高频考点是等比数列前n项和公式。这里分两种情况：
| 当q≠1时 | Sₙ = a₁(1-qⁿ)/(1-q) 或 Sₙ = a₁(qⁿ-1)/(q-1) |
| 当q=1时 | Sₙ = n·a₁ |
这两个公式本质是一样的，只是分子分母的符号不同。考试的时候如果你记混了，可以用q≠1的情况，然后根据分子分母的符号自己调整。
高考卷上最常考的不是等差等比，而是通过递推关系给出的数列。题目会告诉你aₙ和前面某几项的关系，然后让你求通项公式。这种题往往需要一些"变形技巧"，我把常见的几种类型总结一下。
当递推式是"后一项等于前一项加上一个关于n的函数"时，用累加法。比如an = an-1 + 2n，a₁=1。
具体做法是把各项写出来然后相加：
a₂ - a₁ = 2×2
a₃ - a₂ = 2×3
a₄ - a₃ = 2×4
...
aₙ - aₙ₋₁ = 2×n
把左边全部相加，右边全部相加，左边剩下aₙ - a₁，右边是一个等差数列求和。整理一下就能得到通项公式。累加法的关键在于把递推式合理拆解，把差值求和。
当递推式是"后一项等于前一项乘以一个关于n的函数"时，用累乘法。比如an = an-1 · n/(n+1)，a₁=1。
同样把各项写出来相乘：
a₂/a₁ = 2/3
a₃/a₂ = 3/4
a₄/a₃ = 4/5
...
aₙ/aₙ₋₁ = n/(n+1)
左边相乘等于aₙ/a₁，右边相乘会发现中间的分子分母大部分都约掉了，最后剩下aₙ = 1 × 2/(n+1) = 2/(n+1)。累乘法要注意观察约分后的结果，很多同学算到最后一步化简时容易出错。
这是高考的高频题型，递推式是线性的但带有常数项。直接套累加累乘都行不通，需要构造一个新数列转化为等比数列。
以an = 2an-1 + 3为例。我们猜测新数列{an + k}是等比数列，代入递推式求出k的值。
假设an + k = 2(an-1 + k)，展开得到an = 2an-1 + 2k - k = 2an-1 + k。对比原式an = 2an-1 + 3，可知k=3。
所以{an + 3}是公比为2的等比数列，首项是a₁+3。通项公式就是an + 3 = (a₁+3)·2^(n-1)，整理得an = (a₁+3)·2^(n-1) - 3。
构造法的核心是找到那个"恰好能消掉常数项"的k值。这个k怎么求？设原式为an = p·an-1 + q，构造an + k = p(an-1 + k)，展开后比较系数得pk - k = q，所以k = q/(p-1)。记住这个结论，做题会更快。
这类题目会同时给出前n项和Sn的表达式，然后让你求通项公式。核心公式很简单：当n≥2时，an = Sn - Sn-1；当n=1时，a₁=S₁。
但这里有个"陷阱"——很多同学会忘记验证n=1的情况。如果用Sn-Sn-1算出来的a₁和题目给出的S₁不一致，那就说明这个数列从第二项开始才符合你推导的规律，需要分段表示。
有的数列会"分身"，不同范围内的项遵循不同规律。比如：
| n为奇数时 | aₙ = n² |
| n为偶数时 | aₙ = 2n |
这种题需要你分奇偶讨论，通项公式往往需要借助(-1)的幂次来统一表达。比如上面的例子可以写成aₙ = [1+(-1)^(n+1)]/2 · n² + [1+(-1)^n]/2 · 2n，看起来复杂，但原理就是用系数来"开关"不同的表达式。
周期数列会不断重复前面的项，比如aₙ₊₃ = aₙ。这类题通常先让你求前几项，然后找出周期规律，最后根据周期计算特定项。关键是要准确判断周期长度，别算错位置。
绝对值会让数列"变向"，需要找出零点位置分段讨论。比如an = |2n-5|，当n<2>
说了这么多技巧，最后咱们用两道高考真题来练练手。
例题1（2021年新高考卷）：已知数列{an}满足a₁=1，an+1 = an + n，求an。
这是典型的累加法。写出递推式：a₂-a₁=1，a₃-a₂=2，...，aₙ-aₙ₋₁=n-1。左边相加得aₙ-a₁，右边是1+2+...+(n-1)=(n-1)n/2。所以aₙ = 1 + n(n-1)/2 = (n²-n+2)/2。
例题2（2022年全国甲卷）：已知数列{an}满足a₁=2，an+1 = 3an + 2，求an。
这是构造法。套用前面的结论，p=3，q=2，k=q/(p-1)=2/(3-1)=1。所以{an+1}是公比为3的等比数列。首项a₁+1=3，所以an+1 = 3·3^(n-1) = 3ⁿ，即an = 3ⁿ - 1。
在金博教育的课堂上，我见过同学们在这类题上犯的错误五花八门。最常见的有三种：一是累加时项数数错，比如n项累加应该写出n-1个等式；二是构造法求k的时候算错，pq关系搞混；三是Sn和an互相转换时忘了验证n=1的情况。这三点一定要格外注意。
数列通项公式这部分内容，公式技巧固然重要，但更重要的是培养"看到递推式就能想到对应方法"的直觉。这种直觉怎么来？只能是多做题、多总结。每一道题做完之后，回想一下这道题属于哪种类型，用了什么方法，有没有更快捷的解法。坚持这样复盘，你会发现数列题其实翻来覆去就是那几种套路。
距离高考还有几个月，时间足够把数列这块硬骨头啃下来。关键是别盲目刷题，要带着方法刷，带着目的刷。如果在复习过程中遇到什么困惑，随时可以来金博教育和老师聊聊，咱们一起想办法。最后祝各位同学在高考中都能取得理想的成绩！
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