高中数学一对一辅导：函数奇偶性判断的那些事儿

说起函数奇偶性，很多高一同学都头疼。这玩意儿说简单也简单，说难也难，关键是第一次接触的时候，那个定义式看得人云里雾里的。我记得当年自己学这块内容的时候，也是折腾了半天才搞清楚。后来做了老师，带过不少学生，发现大家在判断函数奇偶性这件事上，翻来覆去就是那几个坑。今天咱们就坐下来聊聊，怎么搞定这个看起来挺玄乎的知识点。

先说句题外话，如果你或者孩子在这块总是卡壳，一对一辅导确实是个不错的选择。毕竟班级课几十号人，老师很难顾得上每个人具体哪里没想通。这篇文章会系统讲清楚奇偶性判断的方法，也会说说常见问题出在哪里，最后再聊聊为什么有些孩子上一对一效果特别明显。

到底啥是奇偶性？别被定义式吓到

课本上一般会这样定义：对于函数f(x)，如果对定义域内任意x都有f(-x) = f(x)，那这个函数就是偶函数；如果f(-x) = -f(x)，那它就是奇函数。

听起来是不是有点绕？咱们换个说法。奇偶性本质上是描述函数图像的对称性质。偶函数关于y轴对称，你把图像沿y轴对折，左右两边能完全重合；奇函数关于原点对称，你把图像绕原点转180度，位置不变。

这么解释可能还是抽象，咱们举几个例子。你肯定见过y = x²这个函数，图像是个开口向上的抛物线，对不对？你随便找几个点，比如x=2时y=4，x=-2时y也是4，关于y轴对称，所以它是偶函数。再看y = x³，x=2时y=8，x=-2时y=-8，正好是相反数，关于原点对称，所以它是奇函数。

这两个是最基础的例子，建议大家把它们的图像刻在脑子里。以后遇到其他函数，先想图像，再想代数定义，两边对照着来，理解会更深刻。

判断奇偶性的完整流程

很多同学做题的时候，上来就直接代入计算，结果算到一半发现定义域不对称，白忙活一场。所以第一步不是计算，而是检查定义域。

第一步：先看定义域是否关于原点对称

这是最容易忽略的一步。什么是关于原点对称？简单说就是：如果x在定义域里，那么-x也必须在定义域里。比如(-3,3)是对称的，因为取3和-3都在区间里；比如[-2,4]就不对称，因为-2的相反数是2在区间里，但4的相反数是-4不在区间里。

定义域不对称的话，这个函数根本不用考虑奇偶性，直接判定为非奇非偶。我带过不少学生，这一步出错的人特别多，明明计算过程都对，结果第一步就错了，白扣分可惜了。

第二步：计算f(-x)并化简

确定定义域没问题之后，把-x代入原函数，然后化简。化简这步很关键，有些同学代入之后就不管了，结果看不出来f(-x)和f(x)或者-f(x)的关系。

比如已知f(x) = x⁴ - 2x² + 1，计算f(-x)就是(-x)⁴ - 2(-x)² + 1。因为偶次方的原因，负号全部消掉了，结果就是x⁴ - 2x² + 1，和f(x)一模一样。这不用多想，肯定是偶函数。

再比如f(x) = x³ + x，计算f(-x) = (-x)³ + (-x) = -x³ - x = -(x³ + x) = -f(x)，这就是奇函数。

第三步：比较得出结论

化简完f(-x)之后，和f(x)比较、和-f(x)比较，哪个相等就是哪个。如果两个都不等，那就是非奇非偶。

这里有个小技巧：有时候f(-x)化简完之后，既不像f(x)也不像-f(x)，但可能经过变形之后能看出来。比如f(x) = x² + x，这个函数你算一下f(-x) = (-x)² + (-x) = x² - x。它既不等于f(x) = x² + x，也不等于-f(x) = -x² - x，所以是非奇非偶。这种情况很常见，很多同学以为只要带公式就行，其实不是所有函数都有奇偶性。

常见函数类型的奇偶性汇总

为了方便大家记忆，我把高中常见的几类函数奇偶性整理了一下。这个表格建议收藏起来，做题的时候对照着看，能省不少时间。

这个表格里的结论不需要死记硬背，你只要理解背后的原理，考试时现场推导完全来得及。但表格能帮你建立直观印象，看到函数类型就能大概有个判断方向，节省思考时间。

组合函数的奇偶性怎么判断？

课本上还会讲复合函数或者四则运算后的函数奇偶性，这块稍微复杂一点，但规律性很强。

偶函数±偶函数=偶函数。比如f(x)=x²+3，g(x)=x⁴-1，两个都是偶函数，加起来h(x)=x⁴+x²+2，还是偶函数。

奇函数±奇函数=奇函数。比如f(x)=x，g(x)=x³，加起来h(x)=x³+x，还是奇函数。

偶函数±奇函数=非奇非偶。这是最常考的组合，比如f(x)=x²+x，前面x²是偶函数，后面x是奇函数，加起来就不是奇也不是偶了。你看它的f(-x)=(-x)²+(-x)=x²-x，和f(x)不一样，也和-f(x)不一样，所以是非奇非偶。

乘除法稍微麻烦一点：偶×偶=偶，奇×奇=偶，偶×奇=奇。记忆方法是：两个同奇偶性相乘得偶，不同奇偶性相乘得奇。这个规律可以用定义式快速验证，感兴趣的同学可以自己推一遍，印象会更深刻。

孩子们最容易踩的坑，我列一下

带了这几年学生，发现以下几个错误出现频率特别高，大家引以为戒。

• 定义域没检查就做题。比如f(x)=√(x-1)+√(1-x)，这个函数定义域是x=1，就一个点。你算f(-x)的时候，-x=-1根本不在定义域里，还判断什么奇偶性？这种题一眼就要看出定义域问题。
• 计算f(-x)的时候符号出错。尤其是多项式里藏着负号的时候，比如f(x)=x³-2x²+5，算f(-x)=(-x)³-2(-x)²+5=-x³-2x²+5。很多同学写到-2(-x)²的时候，把-2和(-x)²的符号搞混，结果算错。
• 把非奇非偶函数强行判断。有些同学做多了奇函数偶函数，养成思维定式，觉得所有函数都能判断出奇偶性。其实不是，很多函数既不是奇也不是偶，这是正常现象，不要强行往里套。
• 混淆奇偶性和单调性。这是两个完全不同的概念。奇偶性描述对称性，单调性描述变化趋势。偶函数可以在某个区间递增，也可以在某个区间递减，比如y=x²在(-∞,0)递减，在(0,+∞)递增，但它始终是偶函数。
• 忘记定义域限制。比如f(x)=x/(x²-1)，定义域是x≠±1，关于原点对称，可以判断奇偶性。计算得f(-x)=(-x)/((-x)²-1)=-x/(x²-1)=-f(x)，是奇函数。但如果漏掉定义域的限制，就会出错。

一对一辅导为什么对这块特别有效？

说了这么多方法和注意事项，最后聊聊为什么有些孩子上一对一辅导效果特别明显，特别是在学函数奇偶性这种相对抽象的概念时。

首先，一对一的老师能精准找到孩子的卡点在哪里。同样是做错一道题，有的孩子是定义域没检查，有的孩子是代入计算出错，有的孩子是化简技巧不熟练。班级课老师不可能挨个问清楚，但一对一可以针对性地练。我认识的金博教育的老师都会先让孩子做几道题，从错误里倒推问题所在，而不是从头到尾照着课件讲一遍。

其次，一对一的节奏完全由孩子掌握。奇偶性这个知识点，说难不难，但确实需要时间去消化。有些孩子想得快，有些孩子需要多举几个例子。一对一的话，孩子说没听懂，老师就能换一个方式再讲一遍；孩子说懂了，可以立刻往下走，不用迁就别人的进度。

再就是错题整理和反复练习的问题。一对一老师一般会带着孩子建立错题本，把奇偶性相关的易错点分类整理好。下次再遇到类似题目，孩子脑子里立刻能调取之前的教训。这种刻意练习在班级课里很难实现，毕竟老师布置的作业是面向所有人的。

另外，心理因素也很重要。有些孩子在学校里不敢问问题，怕问多了同学笑话。一对一的环境相对轻松，孩子可以放开问，问到懂为止。没有心理负担，学习效率自然就上去了。

学这部分内容的一点建议

如果你正在学函数奇偶性，或者准备复习这块内容，我有几个比较实在的建议。

首先是多画图。奇偶性本身就是几何性质很强的概念，图像画出来，很多问题一目了然。不用画得多精细，只要把关键点标出来，对称关系能看出来就行。比如判断y=x³-9x是不是奇函数，你先画一下，发现它是中心对称的，那大概率是奇函数，再代数验证就快了。

其次是做完题多复盘。错一道题不可怕，可怕的是同样的错误反复犯。每次做完判断奇偶性的题目，不管对错，都花半分钟想想：定义域看了吗？f(-x)算对了吗？化简到位了吗？这一步养成习惯，比刷十道新题都有用。

最后是不懂就问。奇偶性的定义式确实有点抽象，第一次看不懂太正常了。问老师、问同学、问辅导老师都行，关键是别让问题积压着。积压多了，后面学复合函数、周期函数会更吃力。

函数奇偶性在高中数学里是个基础但重要的知识点。它是后面学习函数性质、图像变换的铺垫，也是高考经常考的内容。好消息是，这块内容逻辑性很强，只要理解了核心概念，做题基本不会跑偏。

如果你或者孩子在这块还有困惑，不妨找个好老师系统辅导一下。有时候一句话的点拨，就能打通之前怎么也理不清的思路。学习这件事，方法和方向有时候比努力更重要。