等比数列通项公式：高三大招帮你彻底搞定这个拦路虎

说起等比数列，很多高三同学的头就开始大了。这个东西看起来公式不多，但变形起来真是让人眼花缭乱。我辅导过不少学生，发现大家普遍存在一个困惑：明明上课听老师讲的时候觉得懂了，结果自己做题时又懵了。今天咱们就坐下来聊聊等比数列通项公式这个话题，聊聊它到底是怎么回事，聊聊你在学习过程中可能踩的那些坑。

在金博教育的辅导过程中，我始终坚信一个道理：学数学不是背公式，而是理解背后的逻辑。等比数列为什么重要？因为它不仅仅是高考的必考内容，更是因为它跟实际生活紧密相关。你想过没有，你把钱存进银行，存款是怎么增长的？你的手机话费和流量套餐，为什么有时候会觉得越用越划算？这些背后都有等比数列的影子。

先搞懂什么是等比数列，别着急套公式

咱们先回到最基本的问题：到底什么是等比数列？

等比数列，字面意思就是"按照相同比例排列的数列"。你可以想象这样一个场景：你第一天存了100块钱到银行，银行每年给你5%的利息。第二天你发现账户里变成了105块，第三年呢？105再乘以1.05，变成110.25，第四年继续乘……这就是一个典型的等比数列：100, 105, 110.25, 115.7625……

你会发现一个规律：每一项都是前一项乘以一个固定的数。这个固定的数叫做公比，通常用字母q来表示。在这个例子里，q就是1.05。

等比数列的官方定义是这样的：一个数列从第二项起，每一项与前一项的比值都等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列，这个常数就是公比。听起来有点绕口对吧？我给大家翻译一下：就是后一项除以前一项，每次算出来的结果都一样，那这个数列就是等比数列。

这里有几个细节需要特别注意。首先，公比可以是正数也可以是负数。当公比是负数的时候，数列的各项符号会正负交替。比如数列2, -4, 8, -16, 32……这个公比就是-2。其次，公比不能等于零，否则从第二项开始就全是零了，那这个数列就没意义了。第三，当公比等于1的时候，数列就是一个常数列，每一项都相等。

通项公式是怎么来的？别死记硬背

好，现在我们进入正题：等比数列的通项公式。

等比数列的通项公式是：aₙ = a₁ × qⁿ⁻¹

这个公式看起来很简单，但很多同学记不住，或者记住了也不会用。我教大家一个理解这个公式的办法，不需要死记硬背。

假设等比数列的第一项是a₁，第二项就是a₁乘以q，第三项呢？第二项再乘以q，所以是a₁乘以q再乘以q，也就是a₁乘以q²。第四项就是a₁乘以q³。依此类推，第n项就是a₁乘以q的(n-1)次方。你看，公式就是这么来的，一点都不神奇。

咱们用一个具体的例子来验证一下。假设一个等比数列的首项是3，公比是2，那么这个数列应该是：3, 6, 12, 24, 48……我们用公式来算算第四项：a₄ = a₁ × q⁴⁻¹ = 3 × 2³ = 3 × 8 = 24。对的，和数列里的第四项完全一致。再算第六项：a₆ = 3 × 2⁵ = 3 × 32 = 96。数一数数列里的第六项：3, 6, 12, 24, 48, 96……没错，就是96。

这就是等比数列通项公式的推导过程。你只要理解了它是怎么来的，根本不用花时间去背诵。每次用到的时候，脑子里想一想项数是怎么一步步乘出来的，自然就写出来了。

通项公式的几种变形，你必须都见过

高考不会考你默写公式，它考的是你会不会用公式的变形。下面我给大家梳理一下等比数列通项公式的几种常见变形，这些都是在解题过程中会经常遇到的。

变形一：已知公比和第n项，求首项

公式变形：a₁ = aₙ / qⁿ⁻¹

这个变形很好理解，就是把原来的公式两边同时除以qⁿ⁻¹。比如已知等比数列的第5项是48，公比是2，求首项。那就是a₁ = 48 / 2⁴ = 48 / 16 = 3。数列就是3, 6, 12, 24, 48……没错，首项就是3。

变形二：已知首项和第m项，求公比

公式变形：q = (aₙ / a₁)^(1/(n-1))

这个变形稍微复杂一点，需要用到指数运算。比如已知等比数列的首项是2，第5项是162，求公比。代入公式：q = (162 / 2)^(1/4) = 81^(1/4)。81是3的四次方，所以q = 3。验证一下：2, 6, 18, 54, 162……对，公比就是3。

变形三：等比中项公式

如果a, b, c三个数成等比数列，那么b² = a × c。这里b就是a和c的等比中项。这个结论可以从通项公式直接推导出来，有兴趣的同学可以自己试试。

这个变形特别重要，在高考中经常出现。它不仅可以用来判断三个数是否成等比数列，还可以用来求等比数列中未知的项。

五个例子带你实战演练

光说不练假把式。接下来我给大家讲五个典型的例题，这些题目都是高考和模拟考试中经常出现的题型。通过这些例题，你会更清楚地看到通项公式应该怎么用。

例题1：基础计算题

已知等比数列的首项是5，公比是3，求第8项。

这道题最简单，直接套用公式。a₈ = a₁ × q⁷ = 5 × 3⁷。3⁷是多少？3⁴=81，3⁵=243，3⁶=729，3⁷=2187。所以5乘以2187等于10935。这就是答案。

很多同学在这里会犯一个错误，把指数算成n而不是n-1。比如算成5乘以3⁸，那就错大了。一定要记住是q的(n-1)次方，不是n次方。

例题2：逆向求首项

已知等比数列的第6项是243，公比是3，求首项。

这时候我们需要用变形公式a₁ = aₙ / qⁿ⁻¹。代入数值：a₁ = 243 / 3⁵。3⁵是243，所以243除以243等于1。首项就是1。数一数这个数列：1, 3, 9, 27, 81, 243……对，第六项确实是243。

例题3：判断等比数列

判断数列3, 6, 12, 24, 48是否为等比数列。

判断一个数列是否为等比数列，只需要看相邻两项的比值是否相等。6÷3=2，12÷6=2，24÷12=2，48÷24=2。比值都是2，所以是等比数列，公比是2。

这里有个小陷阱：有些同学会先算前两项的比值，然后直接得出结论。这样不够严谨，必须所有相邻项的比值都相等才行。

例题4：三个数成等比数列

已知a, b, c三个数成等比数列，且a=2，c=18，求b。

根据等比中项公式，b² = a × c = 2 × 18 = 36。所以b=6或者b=-6。这里要注意，等比数列的公比可以是负数，所以b可能是正数也可能是负数。如果b=6，数列是2, 6, 18，公比是3；如果b=-6，数列是2, -6, 18，公比是-3。两个答案都是正确的，要看题目有没有其他限制条件。

例题5：综合应用

已知等比数列的第3项是4，第6项是32，求第9项。

这道题需要我们灵活运用通项公式。首先，我们不知道首项和公比，但我们可以先求公比。从第3项到第6项，经历了3步（3到4，4到5，5到6），所以32 = 4 × q³。解这个方程：q³ = 8，q=2。

接下来求首项。第3项是4，也就是a₃ = a₁ × q² = 4。代入q=2，得到a₁ × 4 = 4，所以a₁=1。

最后求第9项：a₉ = a₁ × q⁸ = 1 × 2⁸ = 256。

验证一下：数列是1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256……第3项是4，第6项是32，第9项是256，完全正确。

常见错误大盘点，这些坑千万别踩

在多年的教学实践中，我总结了同学们在等比数列这一章最容易犯的错误。把这些错误记在心里，考试的时候就能少丢分。

错误一：指数位置搞错

这是最常见的错误。通项公式是aₙ = a₁ × qⁿ⁻¹，但很多同学会写成a₁ × qⁿ。比如算第5项，应该乘以q的4次方，有人会乘以q的5次方，结果就错了。

怎么避免这个错误？你就想：第一项是a₁，也就是q的0次方（任何数的0次方都是1）；第二项是q的1次方；第三项是q的2次方……以此类推，第n项就是q的(n-1)次方。这样想就不会错了。

错误二：等差等比傻傻分不清

有些同学会把等差数列的公式和等比数列的公式搞混。等差数列的通项是aₙ = a₁ + (n-1)d（d是公差），等比数列的通项是aₙ = a₁ × qⁿ⁻¹（q是公比）。一个是加法关系，一个是乘法关系，性质完全不同。

考试的时候如果把公式搞混了，后面整个题就白做了。一定一定要区分清楚。

错误三：公比为负数时符号出错

当公比是负数时，数列的符号会正负交替。这时候计算一定要仔细，稍不留神就会把符号搞错。

比如等比数列首项是2，公比是-3，那么数列是2, -6, 18, -54, 162……每一项的符号都要正确处理。计算的时候，最好把负号单独提出来，不要和指数运算混在一起。

错误四：等比中项忘了两解

当求等比中项的时候，b² = a × c，所以b = ±√(a×c)。很多同学只记得正根，忘了负根也是可能的。除非题目明确说明数列的各项都是正数，否则要考虑两种情况。

错误五：首项和第一项分不清

有些教材里会说"第一项"、"第二项"，有些会说"首项"。其实这是同一个概念，都是a₁。但有时候题目会给"第n项"让你求首项，这时候不要把n当成1直接代入公式。

等比数列在实际生活中有什么用

学数学不只是为了考试，它在生活中真的很有用。我给大家讲几个等比数列的实际应用场景，你可能会对这个知识点有更深的理解。

复利计算

这是等比数列最经典的应用。你把钱存进银行，银行给你利息，下一年的利息是以上一年的本息和为基础计算的，这就是复利。复利的计算公式就是等比数列的通项公式。

假设你存10000元，年利率是4%，那么n年后的本息和就是10000 × (1+0.04)ⁿ。这就是等比数列的应用。知道了这个，你就能理解为什么有些理财产品会说"复利的力量"了。

细胞分裂

生物课学过细胞分裂吧？细胞每次分裂都是一分为二，这就是公比为2的等比数列。一个细胞分裂一次变成2个，分裂两次变成4个，分裂三次变成8个……这就是等比数列的增长率。

打折促销

有些商家的促销策略是用等比数列设计的。比如"买二送一"，相当于你花两份钱得到三份商品，实际上是打了六六折。还有"第二件半价"，也是一种等比关系的体现。理解了等比数列，你就知道这些促销到底划不划算。

怎么高效学习这一章

最后给大家几条学习建议，都是我多年辅导经验的总结。

第一，理解比记忆重要。等比数列的公式不多，但变形很多。如果你只是死记硬背公式，遇到变形题就会懵。但如果你理解了公式是怎么来的，不管题目怎么变，你都能找到解题思路。

第二，多做练习，熟能生巧。数学这个东西，看会了不等于学会了，必须自己动手做才行。建议每天坚持做几道等比数列的题目，保持手感。

第三，建立错题本。把自己做错的题目整理出来，分析错误原因，定期复习。到了高考前两个月，错题本就是你最好的复习资料。

第四，不懂就要问。学习过程中遇到不会的问题，不要一直攒着。在金博教育辅导的学生，我都鼓励他们随时提问，及时解决疑惑。问题攒多了，就会变成越不过去的大山。

等比数列这一章在高考数学中占有重要位置，选择题、填空题、大题都可能考到。但只要你们把基本概念搞清楚，把公式理解透彻，再通过大量练习巩固，考试的时候完全可以拿下这部分分数。

学习是一个循序渐进的过程，不可能一口气吃成胖子。如果你现在觉得还有哪些地方不太明白，可以回过头来再看看这篇文章，或者找老师同学讨论一下。数学就是这样，有时候卡在一个地方想不通，换个思路突然就通了。

希望这篇文章能对你的学习有所帮助。等比数列并不难，只要用对方法，你一定可以把它攻克。加油，高三的同学们！