当前位置： 首页 > 教育资讯 > 金博动态 > 高考冲刺班数学导数极值点判断方法
记得去年带冲刺班的时候，有学生问我："老师，极值点这部分内容我刷了上百道题，可每次考试还是会在思路上卡住，您说这是怎么回事？"这个问题让我思考了很久。后来我发现，问题不在于学生做的题不够多，而在于他们往往是"知其然而不知其所以然"地套用方法，没有真正理解极值点判断背后的数学逻辑。
在金博教育的教学实践中，我们特别强调让学生理解每一个步骤的来源，而不仅仅是记住结论。今天这篇文章，我想把高考数学中导数极值点的判断方法从头到尾讲清楚，希望能帮助正在备考的你打通这个难点。
在正式讲判断方法之前，我们有必要先把极值点的概念搞清楚。很多同学做题的时候之所以犹豫不决，往往是因为对基本概念的理解还停留在模糊的层面。
简单来说，极值点就是函数在某一点附近的小范围内取得最大值或最小值的点。这里要特别注意"附近"这个词，它强调的是局部性。函数在整个定义域上的最大值最小值点叫"最值点"，而极值点只看局部范围。这个区分在高考中经常被考到，有些题目会故意设置陷阱，让同学们混淆这两个概念。
具体来说，极值点又分为极大值点和极小值点两种。如果函数在某点x₀的左侧附近递增、右侧附近递减，那么f(x₀)就是极大值，x₀就是极大值点。反过来，如果左侧附近递减、右侧附近递增，f(x₀)就是极小值。理解这个口诀对后续的判断非常重要。
在高考题目中，极值点通常以两种方式出现：一种是明确要求找出极值点或极值，另一种是在综合题目中作为中间步骤出现。无论是哪种情况，准确判断极值点都是解题的关键第一步。
说到极值点判断，就不得不提导数的作用。这里有个非常核心的结论，同学们一定要记牢：导数的正负性直接决定函数的单调性。当f'(x) > 0时，函数在对应区间上单调递增；当f'(x) < 0>
这个结论是怎么来的呢？其实可以用极限的定义来理解。导数f'(x₀)表示的是函数在x₀处的瞬时变化率，如果这个变化率为正，说明函数值随着x的增大而增大，局部上就是递增的。反之亦然。
在金博教育的课堂上，我们通常会通过画图的方式帮助学生建立直观理解。比如让学生画一个简单的二次函数图像，观察在不同区间上导数的符号变化，然后让他们自己总结规律。这种探究式的学习方式往往比直接告知结论效果更好。
现在我们有了单调性的判断工具，再来看极值点就容易多了。根据上面的分析，如果x₀是极值点，那么函数在x₀附近的单调性必然发生变化——要么从递增变成递减（极大值点），要么从递减变成递增（极小值点）。
而单调性的变化直接体现在导数的符号变化上。因此，极值点必然满足f'(x₀) = 0。这个结论反过来也成立吗？答案是：不一定。f'(x₀) = 0的点叫"驻点"，但驻点不一定是极值点。这一点高考特别喜欢考，同学们一定要特别注意。
举个简单的例子。函数f(x) = x³在x=0处的导数f'(x) = 3x²，f'(0) = 0，满足驻点的条件。但这个函数在整个实数范围内都是递增的，在x=0处并没有发生单调性的变化，因此x=0不是极值点。这种情况在高考中被称为"拐点"或"鞍点"，需要同学们能够识别出来。
| 点的类型 | 导数条件 | 单调性变化 | 是否为极值点 |
| 极大值点 | f'(x₀) = 0，且左侧f' > 0、右侧f' < 0> | 递增→递减 | 是 |
| 极小值点 | f'(x₀) = 0，且左侧f' < 0> 0 | 递减→递增 | 是 |
| 驻点但非极值点 | f'(x₀) = 0，但两侧导数符号相同 | 无变化或变化两次 | 否 |
知道了极值点与导数符号变化的关系，现在我们来看具体的判断方法。最常用且最有效的方法就是穿根法，也叫符号法。
穿根法的操作步骤其实很简单。第一步，求出函数的导数f'(x)；第二步，解方程f'(x) = 0，找出所有驻点；第三步，这些驻点把定义域分成若干个区间，在每个区间内任取一个测试点，代入f'(x)判断符号；第四步，根据驻点两侧的符号变化情况判断是否为极值点。
举个例子。假设f'(x) = (x-1)(x-2)(x-3)，驻点就是x=1、x=2、x=3。这三个点把实数轴分成四个区间：(−∞,1)、(1,2)、(2,3)、(3,+∞)。我们分别取x=0、x=1.5、x=2.5、x=4代入f'(x)：
观察符号变化：从左到右，f'的符号依次是"−、+、−、+"。在x=1处，符号从负变正，说明x=1是极小值点；在x=2处，符号从正变负，说明x=2是极大值点；在x=3处，符号从负变正，说明x=3是极小值点。
穿根法的好处是思路清晰、不容易出错。但要注意，多项式导数在求驻点时可能会有重根的情况，这时候需要特殊处理。比如f'(x) = (x-1)²(x-2)，驻点x=1是二重根。这时候我们在判断符号变化时会发现，在x=1附近f'(x)的符号并没有改变——因为(x-1)²始终非负，符号变化只取决于(x-2)。所以x=1虽然满足f'(x)=0，但不是极值点。
除了穿根法，还有一个很实用的方法——二阶导数法。这个方法的优势在于，当驻点处的导数符号变化不明显时（尤其是高阶导数情况），我们可以通过二阶导数快速判断。
二阶导数法的原理是这样的：如果x₀是f(x)的驻点（即f'(x₀)=0），那么：
为什么会有这样的结论呢？这涉及到函数的凹凸性。f''(x) > 0意味着函数图像是凹的，像一个"U"形，驻点就是最低点；f''(x) < 0>
取f(x) = x²，显然x=0是极小值点。f'(x) = 2x，f''(x) = 2 > 0，符合极小值的判断条件。再取f(x) = −x²，x=0是极大值点，f'(x) = −2x，f''(x) = −2 < 0>
那什么时候二阶导数法会失效呢？当f''(x₀) = 0的时候。比如f(x) = x⁴，x=0处f'(0)=0，f''(0)=0，这时候我们需要用穿根法或者更高阶的导数来判断。实际计算可知，f(x)=x⁴在x=0处是极小值。
在高考中，二阶导数法特别适合处理导数形式不太复杂、只需要判断一个或两个驻点的情况。如果题目给出的导数是二阶或三阶多项式，用二阶导数法往往能快速出答案。
高考中有一种题型让很多同学感到头疼，那就是含有参数的极值点问题。这时候参数的存在使得导数的符号判断变得复杂，分类讨论就成为必不可少的工具。
分类讨论的核心思想是：把参数的取值范围分成若干种情况，针对每种情况分别判断极值点。关键在于如何分类。分类的依据通常是参数的不同取值导致导数符号变化的不同。
举个典型例子。已知f(x) = x³ + ax² + bx + 1，讨论参数a,b变化时函数的极值点情况。这道题的做法是：先求导f'(x) = 3x² + 2ax + b，然后解方程3x² + 2ax + b = 0。根据判别式Δ = 4a² − 12b = 4(a² − 3b)，我们分三种情况讨论：
这就是一个完整的分类讨论过程。在实际操作中，同学们要注意：分类要全面、互斥、不遗漏；每种情况的结论要明确；最后可能还需要整合不同情况的共同结论。
在多年的教学实践中，我总结了同学们在极值点判断中最容易犯的几类错误，希望能引起大家的注意。
第一个误区是把驻点等同于极值点。就像前面提到的x³的例子，很多同学看到f'(x)=0就认为一定是极值点，忽略了符号变化的判断。正确的方法是：驻点只是候选点，必须检查符号变化才能确定是否为极值点。
第二个误区是忽视端点处的极值。有些函数的定义域是闭区间，比如[0,1]，这时候端点x=0和x=1也有可能成为极值点。但根据极值点的定义（局部范围），闭区间的端点只能算"单侧极值点"，处理方式与区间内部的极值点有所不同。高考中有时会在这方面设置陷阱，同学们要擦亮眼睛。
第三个误区是计算驻点时出错。尤其是遇到高次方程或者复杂的因式分解时，同学们容易算错根。有时候即使方法正确，一个计算错误也会导致全盘皆输。建议大家遇到复杂方程时多检查几遍，或者换一种解法验证结果。
第四个误区是忽略定义域的限制。有些函数在某些点没有定义，或者定义域本身是受限的。这时候极值点只能出现在定义域范围内，定义域外的点再"好"也不能考虑。审题时一定要先把定义域搞清楚。
现在我们来看一道高考真题，完整地走一遍极值点的判断过程。
题目：已知函数f(x) = x³ − 3x² − 9x + 5，求f(x)的极值点和极值。
第一步：求导数。 f'(x) = 3x² − 6x − 9。
第二步：解驻点方程。 令f'(x) = 0，即3x² − 6x − 9 = 0。除以3得x² − 2x − 3 = 0，因式分解为(x−3)(x+1) = 0，所以驻点为x=3和x=−1。
第三步：判断符号变化。 我们用穿根法。f'(x) = 3(x−3)(x+1)，两个根把实数轴分成三个区间：
符号变化：+ → − → −。在x=−1处，符号由正变负，所以x=−1是极大值点；在x=3处，符号由负变正，所以x=3是极小值点。
第四步：计算极值。 f(−1) = (−1)³ − 3(−1)² − 9(−1) + 5 = −1 − 3 + 9 + 5 = 10，所以极大值是10。f(3) = 3³ − 3(3)² − 9(3) + 5 = 27 − 27 − 27 + 5 = −22，所以极小值是−22。
完整结论是：函数在x=−1处取得极大值10，在x=3处取得极小值−22。
极值点这部分内容，在高考数学中属于中等偏难的题型。它不像集合、数列那样有固定的套路，而是需要同学们真正理解导数的本质含义，并能够灵活运用。方法的掌握固然重要，但更重要的是在大量练习中培养对函数图像的直觉。
在金博教育的冲刺班课程中，我们通常会让学生先自己独立思考每一道题，然后再进行讲解，最后再变式训练。这种"思考—讲解—练习"的闭环，能够帮助学生真正内化所学知识。
最后提醒大家，极值点问题往往会和函数最值、恒成立问题、参数取值范围等知识点综合考查，所以在复习的时候要有意识地建立知识之间的联系。数学是一门讲究逻辑连贯的学科，只有把各个环节都打通了，才能在考试中游刃有余。
希望今天的分享能对你的复习有所帮助。离高考还有一段时间，只要方法得当、持之以恒，数学成绩的提升是完全可期的。加油！
下一篇：北京高中生物机构排名
在
线
咨
询
