圆的内接四边形性质应用——初三数学一对一辅导

记得上次给一个初三的学生辅导几何综合题的时候，他被一道关于圆内接四边形的题目卡了整整四十分钟。那道题其实并不算特别难，就是需要灵活运用圆内接四边形的几个核心性质。但学生跟我说，他在学校学这块内容的时候，老师就是照着课本念了一遍定义，然后给了几个公式，作业就布置下去了。他说他直到现在都搞不清楚这些性质到底该怎么用，什么时候该用这个，什么时候该用那个。

这个问题其实挺普遍的。圆的内接四边形这个章节，在中考数学里占的分量不算特别大，但每年都会考，而且往往喜欢和其他知识点综合在一起出题。很多学生学完之后的感觉就是"听懂了，但不会用"。今天我想把这个内容从头到尾捋一遍，尽量用最直白的话把那些性质讲清楚，更重要的是告诉你在具体的题目里该怎么去运用。

先搞清楚什么是圆内接四边形

在说性质之前，我们先把定义搞明白。圆内接四边形这个概念其实挺直白的——就是四个顶点都在同一个圆上的四边形。换句话说，存在一个圆，它刚好经过这个四边形的四个顶点。这时候我们把这个四边形叫做这个圆的内接四边形，同时把这个圆叫做四边形的外接圆。

这个定义看起来简单，但里面有几个关键点需要特别注意。第一点，四个点必须共圆，缺一不可。我之前改作业的时候发现，有学生把三个点在圆上、一个点不在的情况也算进来，这明显是理解错了。第二点，外接圆的存在性并不是所有四边形都具备的。平行四边形里只有矩形和正方形才有外接圆，普通平行四边形是没有的。梯形里等腰梯形一定有外接圆，但普通梯形就没有。这个知识点经常在选择题里出现，大家要留意一下。

我在金博教育做一对一辅导的时候，通常会先让学生自己画几个四边形，然后判断它们有没有外接圆。通过这个过程，学生对"什么样的四边形才能有外接圆"会形成一个直观的认识，比单纯背定义效果好很多。

两个核心性质必须烂熟于心

圆内接四边形的性质其实不少，但真正在考试中经常用到的就两个。把这两个性质吃透，大部分题目都能应付。

第一个性质是对角互补。 也就是说，圆内接四边形的两组对角加起来都等于180度。比如四边形ABCD是圆的内接四边形，那么∠A + ∠C = 180°，同时∠B + ∠D = 180°。这个性质的证明用到了圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，而同一条弦所对的两个圆周角加起来正好是180度，因为它们对应的是同一个圆周。

这个性质最典型的应用场景是什么呢？当题目告诉你四边形内接于圆，然后给你其中一个角的度数，让你求另一个角的度数。比如已知∠A是70度，且四边形ABCD内接于圆，那么∠C一定是110度。这种直接计算的题目在中考里属于送分题，难度不大，但如果你记错了性质或者把对角看成了邻角，就会出错。

第二个性质是外角等于内对角。 这个性质是说，圆内接四边形任意一个外角，都等于它相邻的内角的对面那个角。还是以四边形ABCD为例，假设我们延长边AB到点E，那么∠CBE（这个就是外角）就等于∠D（也就是内对角）。这个性质用圆周角定理同样可以证明：外角和它相邻的内对角所对的弧是同一条弧，所以它们相等。

这个性质在证明题里特别好用。有时候要证明两个角相等，直接证不好证，但如果你能构造出外角和内对角的关系，问题就迎刃而解了。比如要证∠D = ∠CBE，我们只需要说明四边形ABCD是圆的内接四边形，然后直接套用这个性质就可以了。

下面我用一个表格把这两个性质总结一下，这样看起来更清楚：

具体题目中的运用方法

知道了性质是什么，离会用还差着一段距离。接下来我讲讲在具体题目里该怎么运用这些性质。

第一种情况是直接计算角度。 这种题目通常会告诉你四边形内接于圆，然后给出几个角的度数，让你求剩下的角。拿到这种题，第一步先把已知的角标在图上，然后用对角互补的性质把能算的角都算出来。这里有个小技巧：有时候题目不会把所有角都告诉你，这时候你要学会用设未知数的方法。比如已知∠A和∠B，求∠C和∠D，那么根据对角互补，∠C = 180° - ∠A，∠D = 180° - ∠B。如果题目还告诉你四边形的内角和是360度，你可以用这个来检验自己的答案对不对。

第二种情况是在综合题中作为中间步骤。 中考数学里，圆内接四边形的性质往往不会单独考，而是和三角形、平行四边形、圆的其他性质结合在一起。比如一道题可能先让你证明四边形是圆内接的，然后利用对角互补得出某个角是90度，再结合勾股定理求边长。这种题目对学生的综合能力要求比较高，你需要在一道题里灵活调用好几个知识点。

我印象特别深的一道题是这样的：Rt△ABC中，∠C=90°，以AB为直径作圆，交AC于D点。要求证明四边形CBDD是矩形。这道题的第一步就要用到直径所对的圆周角是直角这个性质，然后还要用到圆内接四边形的对角互补，最后才能得出四个角都是90度的结论。如果没有把圆内接四边形的性质吃透，这道题做到一半就会卡住。

第三种情况是证明题中的应用。 证明题里最常见的是要证明两个角相等。如果这两个角不在同一个三角形里，直接用三角形全等可能不太方便。这时候考虑一下它们能不能构成外角和内对角的关系。如果能，再说明四边形是圆内接的，就能直接得出结论了。

不过这里有个问题：有时候题目不会直接告诉你四边形是圆内接的，你得自己证明出来。常见的判断方法有三种。第一种是四个顶点共圆的判定定理，比如对角互补的两个四边形共圆，或者有一个四边形的一条边所对的两个角相等，那么这四个点共圆。第二种是用到圆幂定理的逆定理。第三种是在坐标几何里，用四点共圆的坐标条件来证明。选择哪种方法要根据题目的具体条件来定。

那些年学生最容易掉的坑

教了这么多年书，我见过学生在这个知识点上犯的各种错误。把这些易错点提前告诉你们，你们以后就能绕着走了。

第一个易错点是对角和邻角分不清楚。 有些学生做题的时候，把相邻的两个角当成对角来用互补性质，结果算出来的答案和正确答案相差十万八千里。比如四边形ABCD，∠A和∠C是对角，∠A和∠B是邻角。对角互补说的是∠A加∠C等于180度，不是∠A加∠B。我建议大家画图的时候把对角用不同颜色的笔标出来，这样就不容易搞混了。

第二个易错点是不判断外接圆是否存在就乱用性质。 不是说任意四边形都能套用圆内接四边形的性质，必须先确定这个四边形有外接圆。我在金博教育辅导学生的时候，通常会让他们养成一个习惯：拿到题目先看条件里有没有说"四边形内接于圆"或者"四边形有外接圆"，如果没有的话，先想办法证明它有外接圆，再去用那些性质。如果题目里完全没有提到圆的相关信息，那这道题可能考的不是圆内接四边形的性质，你得往其他方向想。

第三个易错点是在复杂图形中找不到外角。 有些几何题的图形画得特别复杂，外角藏在一堆线段里面，学生找半天都找不到。找外角的方法是这样的：先找到你需要用的那个角，然后看它是某个四边形的外角还是内角。如果是外角，它应该等于180度减去相邻的内角。另外，外角一定是四边形的一个角向外延长形成的，如果你找不到延长线，可以试着把题目给的图重新画一遍，把隐藏的延长线补出来。

一对一辅导时我通常怎么讲

因为是一对一辅导，所以我可以根据学生的具体情况来调整讲课的方式。对于基础不太好的学生，我会先从最基础的概念讲起，然后给他们出一道特别简单的题让他们练手，等他们做对了再逐步增加难度。对于基础还可以但就是不会用的学生，我会在讲完性质之后，直接拿几道中等难度的综合题给他们做，做的时候让他们边做边告诉我为什么这里要用这个性质，用那个性质行不行。通过这种方式，他们能更清楚地理解不同性质适用的场景。

我还会让学生准备一个错题本，专门记录在这个知识点上做错的题目。每过一段时间就把错题本翻出来看看，确保同样的错误不会再犯第二遍。这个方法看起来老套，但真的很有用。

学习几何题有一个很重要的能力就是看图。很多几何题的条件都藏在图里，你要有意识地去找那些隐藏的条件。比如题目里画了一个圆，然后四边形的四个顶点都在圆上，这个"都在圆上"就是最重要的条件，它直接告诉我们可以用圆内接四边形的性质了。如果你看图的时候没注意到这个条件，后面的思路再好也白搭。

练习方法与学习建议

说了这么多，最后给大家几点具体的建议。

首先，性质一定要记准确。我见过太多学生把"对角互补"记成"邻角互补"，或者把"外角等于内对角"记成"外角等于邻角"。这种记忆错误是最可惜的，因为明明会做，却因为记错了性质而丢分。建议大家把这几个性质写在便利贴上，贴在桌子上，每天看几遍，看久了自然就记住了。

其次，多做题，但不要盲目刷题。做完一道题之后要反思一下，这道题用到了哪些性质，我是如何想到用这些性质的，还有没有其他解法。同一类型的题目做个两三道就够了，关键是把这两三道做透，做明白。

还有，画图能力很重要。中考几何题给的图往往比较复杂，有时候还需要你自己补充辅助线。如果你的空间想象能力不太强，建议在草稿纸上把图形重新画一遍，画得越大越好，把所有的点、线、角都标清楚。有时候看着看着，思路就出来了。

学习这件事急不得，尤其是数学。你今天看不太懂的东西，可能过上几天再看就突然明白了。如果遇到暂时理解不了的内容，不要死磕，先放一放，过两天再来看，说不定就豁然开朗了。

今天就聊到这里吧。圆内接四边形这个知识点说难不难，说简单也不简单，关键是要真正理解那些性质是怎么来的，在什么情况下该用哪个性质。希望我的这些讲解能对大家有所帮助。如果还有其他问题，随时来金博教育找我，咱们一对一的时候再详细聊。