初中数学因式分解提取公因式，这些技巧老师不会单独告诉你

记得我上初二那会儿，数学课上第一次接触因式分解，整个人都是懵的。明明小学时方程还玩得挺溜，怎么一到因式分解就感觉像在解密码？尤其是"提取公因式"这个部分，老师在黑板上写得飞快，我抄笔记抄得手臂酸痛，回到家还是不知道从何下手。后来慢慢摸索出来了，才发现这部分其实有它自己的"脾气"，摸透了规律之后，做题就像切菜一样顺畅。

在金博教育带课这些年，我接触过太多学生在因式分解这一步"卡住"的案例。有些孩子不是不聪明，而是没有人告诉他提取公因式的底层逻辑到底是什么。今天这篇文章，我想用最实在的话，把这块知识掰开揉碎了讲清楚。不讲那些玄之又玄的概念，就讲考试的时候你怎么把分拿到手。

一、先搞明白：什么是公因式？

要说提取公因式，首先得搞清楚"公因式"这三个字是什么意思。你可以把一个多项式想象成一堆水果放在一起，而公因式就是那些每种水果都有的共同部分。比如说你有3个苹果和3个香蕉，"3个"就是它们的共同部分，这个"3"就可以提取出来。

用数学语言来说，公因式就是多项式中每一项都含有的相同的因式。注意我说的"每一项"这三个字，这是理解提取公因式的关键。很多同学做题的时候，总是漏看某一项，结果要么做不出来，要么做出来了也是错的。

举个简单的例子：2x + 4y + 6z。这三项看起来没什么关系，但如果你仔细看，2、4、6都能被2整除，所以2是它们的数字公因式。而且这三项里都有"某个东西"吗？好像没有，那这个式子能提取的就只有数字2，提取后变成2(x + 2y + 3z)。你看，这就是最基础的提取公因式。

二、提取公因式的标准步骤

很多同学做题没有章法，看到题目就埋头硬算，这样既浪费时间又容易出错。在金博教育的课堂上，我们一般会让学生按照固定的流程来，养成习惯之后，出错率会大大降低。

第一步：找数字系数的最大公约数。这一步看起来简单，但却是很多人出错的地方。比如12a³b² - 18a²b³ + 24a⁴b，数字系数是12、18、24。12和18的最大公约数是6，6和24的最大公约数还是6，所以数字部分提取6。有些同学会提取12或者18，这就错了，因为不是每一项都能被更大的数整除。

第二步：找相同字母的最低次幂。这是最容易晕的地方。先把每个字母在各项中出现的次数列出来：a在三项里分别是一次、二次、四次，最低次幂是a¹；b在两项里分别是一次、三次，没有b的那一项怎么算？其实没有b就相当于b的0次幂，0比1小，所以最低次幂是b⁰，也就是1。合并起来，字母部分的公因式就是ab。

第三步：合并两部分，写出完整公因式。把数字最大公约数和字母最低次幂合起来，就是完整的公因式。上面的例子中，公因式就是6ab。

第四步：用多项式除以公因式，写出括号里的内容。这一步其实是用分配律的逆过程。12a³b² ÷ 6ab = 2a²b，-18a²b³ ÷ 6ab = -3ab²，24a⁴b ÷ 6ab = 4a³。所以最终结果就是6ab(2a²b - 3ab² + 4a³)。

这个流程看起来有点麻烦，但只要你多练几次，形成肌肉记忆之后做题会快很多。而且这种按部就班的方法，能帮你避免很多低级错误。

三、常见题型与破解方法

3.1 系数为1的情况

有时候你会遇到像x²y + xy² - x³这样的题目。数字系数都是1，找最大公约数就找1。然后看字母：x在三项里分别是一次、零次、三次，最低次幂是x⁰即1；y在两项里分别是一次、一次，最低次幂是y¹。合起来公因式就是y？不对，x的最低次幂是0次，所以x的部分可以不考虑，只看y。那xy是不是公因式？第一项x²y有xy，第二项xy²有xy，第三项-x³没有y，所以xy不是三项的公因式。

这种情况的公因式其实是x。第一项x²y ÷ x = xy，第二项xy² ÷ x = y²，第三项-x³ ÷ x = -x²。所以正确结果是x(xy + y² - x²)。

3.2 多项式作为公因式的情况

这种题目会稍微绕一点。比如(a+b)³ - 2(a+b)² + (a+b)，这里(a+b)整体作为一个"字母"出现在每一项里。所以公因式就是(a+b)，提取出来之后变成(a+b)[(a+b)² - 2(a+b) + 1]。

如果你看不出来，可以先令t = a+b，把式子变成t³ - 2t² + t，这时候就清楚了，公因式是t，提取后是t(t² - 2t + 1)，再把t换回a+b就行。这种"换元法"的思想在处理复杂因式分解时非常有用，金博教育的老师一般会专门花时间讲这个技巧。

3.3 符号容易出错的情况

(-2x + 4y) - (6x - 8y)这种带括号的题目，提取公因式时符号很容易搞错。首先观察这两项，-2x和-6x都有负号，4y和-8y没有统一的负号。那我们换个思路，把式子看成-2x + 4y - 6x + 8y，合并同类项得-8x + 12y。现在提取公因式，数字最大公约数是4，字母都有x吗？没有。那提取数字4，得到4(-2x + 3y)。

或者你也可以提取-4，变成-4(2x - 3y)。两种形式都对，看题目要求。需要注意的是，有时候提取负号会让括号里的首项变正，这在某些题型中是有必要的，比如后续要做其他运算的时候。

四、几种特别容易错的题型，我专门挑出来讲

根据这么多年的教学经验，以下这几种题型是学生出错率最高的，每次考试都有人栽跟头。

4.1 漏看某一项

比如3a(x+y) + 5b(x+y) - 2c。很多同学一眼看到前两项都有(x+y)，就直接提取(x+y)，写成(x+y)(3a + 5b) - 2c。这显然不对，因为第三项没有(x+y)，不能直接这样处理。正确做法是先看有没有其他公因式，这三项的系数3、5、2互质，字母也没有共同的，所以只能保持原样，或者把第三项拆一下：3a(x+y) + 5b(x+y) - 2c(x+y) + 2c(x+y) - 2c，这样强行制造出公因式，但这样反而更麻烦。其实这道题能提取的就是数字1，或者说根本没法提取公因式，保持原式就是最简形式。

4.2 指数找错最低次幂

这是初中生最容易犯的错误之一。比如a⁴b³ - a³b⁴ + a²b⁵，有的同学提取a³b³，得到a³b³(a - b + b²)。这是错的，因为第二项-a³b⁴ ÷ a³b³ = -b，不是-b³b。正确的最低次幂是a²b³，提取后是a²b³(a²b - ab² + b³)。

我教学生一个口诀：找最低次幂时，每一项都要照顾到，指数不能比任何一项的指数小。如果某一项没有某个字母，就当它的指数是0，0比任何正整数都小，所以这个字母的最低次幂就是0次，也就是不存在。

4.3 完全平方和项数太多

像a² + 2ab + b² + c²这样的四项式，有的同学想提取公因式，却发现提取不了。这很正常，因为这个式子不是每一项都有公因式。正确的做法是先分组：a² + 2ab + b²是一个完全平方，可以写成(a+b)²，再加上c²，变成(a+b)² + c²。这时候就不能再提取公因式了，因为(a+b)²和c²没有共同因子。

所以这里要提醒大家：不是所有多项式都能提取公因式的，有时候需要先分组、配方或者用其他方法处理之后，才能进行因式分解。因式分解的题目往往需要几步操作，不是看一步就能写出答案的。

五、实战演练：典型例题详细解析

光说不练假把式，下面我选几道典型例题，手把手带着大家做一遍。

例题一（基础型）

题目：8x³y² - 12x²y³ + 16x⁴y

第一步，找数字系数的最大公约数。8、12、16的最大公约数是4。

第二步，找相同字母的最低次幂。x在三项里分别是一次、二次、四次，最低次幂是x¹；y在两项里分别是一次、一次，第三项没有y当y⁰，最低次幂是y⁰即1。所以字母部分的公因式是x。

第三步，合并公因式是4x。

第四步，用多项式除以公因式：8x³y² ÷ 4x = 2x²y²，-12x²y³ ÷ 4x = -3xy³，16x⁴y ÷ 4x = 4x³y。

所以最终结果是4x(2x²y² - 3xy³ + 4x³y)。

例题二（中等型）

题目：3m(n-2)² - 6m²(n-2)

这道题有两个地方需要特别注意。第一，(n-2)这个整体在每一项都出现了；第二，3和6有公约数3，m和m²有公约数m。

提取的公因式应该是3m(n-2)。为什么？因为3是3和6的最大公约数，m是m和m²的最低次幂，(n-2)是两项的共同部分。

计算括号里的内容：第一项3m(n-2)² ÷ 3m(n-2) = (n-2)，第二项-6m²(n-2) ÷ 3m(n-2) = -2m。

所以结果是3m(n-2)(n-2 - 2m)，整理一下是3m(n-2)(n-2m-2)。

例题三（提高型）

题目：a(b-c) + b(c-a) + c(a-b)

这道题看起来有点复杂，因为每一项的符号都在变。我们先把式子展开看看：ab - ac + bc - ab + ac - bc。哎，好像有点意思，ab和-ab抵消了，-ac和+ac抵消了，bc和-bc也抵消了，剩下0？不对，我展开错了。

重新来：a(b-c) = ab - ac，b(c-a) = bc - ab，c(a-b) = ac - bc。把它们加在一起：(ab - ac) + (bc - ab) + (ac - bc) = ab - ac + bc - ab + ac - bc = 0。居然等于0？那因式分解的结果应该是0乘以任何式子，也就是0。但这好像不是题目想要的结果。

换一种思路，不要展开，而是直接提取公因式。观察这三项，每一项都有一个"单独行动"的字母：a、b、c各出现一次没有成对。好像没有公因式……不对，等我再仔细看看。a(b-c) + b(c-a) + c(a-b) = a(b-c) - b(a-c) + c(a-b)。好像也没帮助。

其实这道题的巧妙之处在于，它本身已经是一个因式分解的结果了，原式可以化成0。但作为练习，我们可以用另一种方法：把式子改写为a(b-c) + b(c-a) + c(a-b) = a(b-c) + b(c-a) - c(b-a)。因为a-b = -(b-a)，c(a-b) = -c(b-a)。然后注意到c-a = -(a-c)，b(c-a) = -b(a-c)。代入得：a(b-c) - b(a-c) - c(b-a)。

现在提取公因式……好像还是提取不出来。这道题其实是想考你一个结论：如果一个多项式可以写成a(b-c) + b(c-a) + c(a-b)的形式，那它恒等于0。记住这个结论，考试时遇到类似的题目可以直接用。

六、学习建议与常见误区

说了这么多技巧，最后我想聊几句学习方法和心态方面的问题。在金博教育这些年，我见过太多学生因为方法不对，在因式分解这部分花费了大量时间却收效甚微。

误区一：疯狂刷题但不总结。有的同学买了一本习题册，从第一页做到最后一页，看起来很努力，但错误率还是很高。原因就是做完就扔，不分析自己为什么错。我建议每做完一组题，要把自己的错误分类：是计算失误、还是方法不对、还是概念理解有偏差？只有找到问题所在，才能针对性地改进。

误区二：只记公式不思考逻辑。因式分解的公式确实不少，提公因式的方法看起来也很多，但背后都是有逻辑的。比如为什么找最低次幂而不是最高次幂？因为如果你找最高次幂，提取之后有些项就没法整除了。你理解了这一点，就不容易记混。

误区三：遇到难题就跳过。有些同学做因式分解时，一看式子复杂就想放弃，或者直接看答案。这样是学不好的。难题才是提升能力的机会，哪怕想不出来，看完答案后也要自己重新做一遍，确保真正掌握。

关于学习安排，我建议每天花20到30分钟专门练习因式分解，不用多，但要坚持。做题时把每一步都写清楚，不要跳步漏步。等你形成稳定的解题节奏后，再逐步提高速度。另外，做题时要注意检查：提取公因式后，用乘法分配律乘回去，看是不是等于原式。这个习惯能帮你发现大部分错误。

还有一点很重要：不要怕问问题。有同学觉得问老师问题显得自己很笨，其实恰恰相反，问问题说明你在认真思考。在金博教育，我们鼓励学生多问问题，不管是多基础的问题，老师都会耐心解答。学习就是这样，一步一步来，踏实最重要。

七、写在最后

因式分解是初中数学的基础内容，但它不是终点。后面的分式运算、一元二次方程、函数学习都会用到因式分解的技巧。你现在把这部分学扎实了，以后会轻松很多。

我始终相信，没有学不好的学生，只有不对的学习方法。如果你或者孩子在因式分解这部分遇到了困难，不妨换个角度试试我上面说的那些技巧。也许一开始觉得麻烦，但坚持用正确的方法练习，你会发现数学其实没那么可怕。

学习是一个积累的过程，不是看一篇文章就能立刻变强的。但我希望这篇文章能给你一些启发，让你在学习的时候少走一些弯路。有什么问题的话，随时可以来金博教育找我聊聊，我很愿意帮助每一个想学好数学的孩子。