导数极值点与最值：中考数学里最容易混淆的那对"双胞胎"

去年带中考冲刺班的时候，我发现一个特别有意思的现象：孩子们在学到导数这一章时，最爱问的问题不是"怎么求导"，而是"极值点和最值到底有什么区别"。说实话，这个问题问得特别好，因为哪怕是有些学了三年数学的同学，到了中考复习阶段依然会把这两个概念混为一谈。今天我们就来好好聊聊这个话题，用最接地气的方式把这个知识点吃透。

先搞懂：什么是极值点？

说到极值点这个词，我觉得有必要先从它的"老家"说起。极值点其实是函数图像上的一个特殊位置，你可以把它想象成山坡上的一个小土堆或者一个小洼地。想象一下你站在一座连绵起伏的山脉面前，那些凸出来的山顶就是"极大值点"，凹下去的谷底就是"极小值点"。

用数学语言来说，如果函数在某点的导数等于零，而且这个点左右的导数符号发生了变化，那这个点就是极值点。这里有个关键细节很多人会忽略：导数等于零是必要条件，但不是充分条件。也就是说，导数为零的点不一定是极值点，但极值点一定满足导数为零。

举个具体的例子吧。函数f(x) = x²在x=0这个地方，导数f'(x) = 2x，当x=0时导数为零。而且你仔细观察图像会发现，当x从负数变到正数时，函数值从正数逐渐降到零，然后再升上去。这个"由降到升"的过程说明x=0左右导数符号从负变正，所以x=0就是函数的极小值点，对应的极小值是0。

再比如函数f(x) = x³，在x=0处导数也是零，但这个点左右的符号变化是什么呢？x<0>0时，导数大于0，函数递增。你看，符号并没有发生改变，所以x=0不是极值点，只是函数图像的一个"拐点"。这个例子特别经典，中考题里经常考，你一定要记住。

再搞懂：什么是最值？

如果说极值点是山坡上的小土堆和小洼地，那最值就是整座山脉里的最高峰和最低谷。最值指的是函数在某一个区间内所能达到的最大值和最小值，它关注的是整体而不是局部。

这里有个非常重要的区别：极值点描述的是局部性质，而最值描述的是整体性质。一个函数可以有很多个极值点，但最多只能有一个最大值和一个最小值（闭区间的情况）。而且最值不一定在导数为零的地方出现——它有可能出现在区间的端点上。

拿我们刚才说的f(x) = x²来举例。如果定义域是全体实数，那么它的最小值是0，出现在x=0这个极小值点上，但没有最大值，函数值可以无限大。但如果定义域是[-2, 2]这个闭区间，那情况就不一样了。最小值还是0，在x=0处；最大值呢？是在x=-2或者x=2的地方，函数值都是4。这两个点都不是极值点，因为它们是区间的端点。

这就是我常跟学生说的那句话：极值点不一定是端点，但最值可能出现在端点。这句话你品，你细品，是不是有点意思？

两者到底有什么区别？

现在我们来系统地对比一下这对"双胞胎"，看完之后你肯定不会再混淆它们。

我上课的时候喜欢用一个形象的比喻：极值点就像是班级里某次考试的单科第一名，而最值是期末考试的年级第一名。单科第一名可能有好多个人，但年级第一名只能有一个。而且年级第一名不一定是每次单科都考第一的那个人——他可能各科都很均衡，总分就上去了。

几个容易踩的坑

在金博教育的教学实践中，我们总结了学生最容易犯的几类错误，你可以对照看看自己有没有中招。

• 第一类错误：把导数等于零当成极值点。就像我们前面说的f(x)=x³的例子，x=0处导数为零，但它不是极值点。判断一个导数为零的点是不是极值点，必须看导数符号是否改变。
• 第二类错误：忽略端点。很多同学求最值的时候，只算导数为零的点，然后把端点给忘了。比如求f(x)=x²在[-1,2]上的最大值，有些同学会忘记端点x=-1和x=2，直接得出错误答案。
• 第三类错误：混淆定义域。有的题目里函数只在某个特定区间内有意义，这时候最值可能出现在你意想不到的地方。比如一个开口向上的抛物线，如果在区间内只有一个极小值点，那么最小值就是这个极小值，但最大值一定在离对称轴最远的那个端点上。
• 第四类错误：记错符号变化。判断极大值还是极小值的时候符号变化记反了。左边导数为负、右边导数为正的是极小值；左边为正、右边为负的是极大值。你可以记成"下上小，上下大"——导数符号从负变正是极小值，从正变负是极大值。

中考真题怎么考？

说了这么多理论，我们来看看中考是怎么考查这个知识点的。我整理了近几年的真题，发现主要考法可以分为以下几种类型。

类型一：判断极值点

这类题通常会给你一个函数，让你判断某个点是不是极值点。解题步骤是：先求导，找到导数为零的点，然后判断这些点左右的导数符号是否改变。这种题只要你概念清楚，基本不会丢分。

类型二：求最值

这是中考的重头戏，一般会出一个闭区间上的函数问题。标准解题流程是：第一步求导找驻点（导数为零的点）；第二步计算区间端点和驻点的函数值；第三步比较这些数值的大小，最大的就是最大值，最小的就是最小值。最后别忘了把答案写规范，该写区间就写区间。

类型三：含参数问题

这类题稍微难一点，函数里会有一个参数，需要你讨论参数不同取值时的情况。比如已知函数f(x)=x³+ax²+bx+c在x=1处取得极值，让你求参数a的值。这时候你要注意，x=1是极值点意味着f'(1)=0，这就是一个方程，可以解出参数。

类型四：实际应用题

就是把极值最值的知识用到实际问题中去，比如利润最大化、成本最小化这类问题。列方程的时候要注意定义域的合理性，然后按照求最值的方法来解。有时候实际问题的最值会出现在边界，这时候你得仔细分析题意。

给正在冲刺的你几点建议

复习到这个阶段，我建议你这样安排：先把课本上关于导数和极值的定义认认真真看一遍，确保基本概念没有死角。然后找几道模拟题练练手，专门练习判断极值点和求最值这两类题目。做完之后一定要总结，看看自己是哪类错误犯得最多。

还有一点特别重要：画图。很多同学觉得画图浪费时间，不如直接算。其实你在草稿纸上把函数图像的草图画出来，很多问题一眼就能看明白。尤其是判断极值点的时候，图像一画，导数符号变化一目了然，根本不用死记硬背。

如果你在复习过程中遇到任何问题，欢迎来金博教育和老师同学们一起讨论。学习这件事，有时候就是一层窗户纸的事，说通了就通了。别不好意思开口，问问题的同学才是真正在思考的同学。

写在最后

极值点和最值这两个概念，看起来挺像，实际上内涵完全不同。一个是局部最优，一个是整体最优；一个关注函数局部的变化趋势，一个关注函数在区间上的整体表现。你只要把它们的本质区别搞清楚了，不管题目怎么变，你都能找到解题的思路。

数学学习就是这样，概念是基础，练习是巩固，总结是提升。三者缺一不可。希望你在这个冲刺阶段稳住心态，把基础打牢，把该拿的分都拿到。加油，中考加油！