小学数学一对一补习图形面积割补法技巧

记得上次有个五年级的学生家长找我聊天，说孩子数学成绩一直不错，但一遇到算图形面积的应用题就发怵。尤其是那些看起来奇形怪状、缺了一角的图形，孩子直接懵了跟我说："老师，这形状这么奇怪，我怎么可能算得出来？"当时我就笑了，因为这太正常了——我小时候第一次遇到这种题的时候也是一样的反应。

其实啊，算这种不规则图形的面积，数学家们早就给我们想好了一个特别聪明的方法，叫做"割补法"。这个词听起来挺专业的，但说白了就是把复杂的问题拆成几个简单的小问题。今天我就跟各位家长和同学聊聊，怎么用好这个方法。

到底什么是割补法？

割补法的核心思想特别简单：与其正面硬扛那个不规则的图形，不如把它"动动手术"。要么把它切开分成几块，每块都是我们熟悉的规则图形（三角形、正方形、梯形什么的）；要么呢，把图形补上一块，让它变成一个完整的大规则图形，然后用总面积减去补上去的那块面积。

你可能会想，这不是在作弊吗？还真不是。割补法是有严格的数学原理支撑的——我们利用的是面积的可加可减性。简单说就是，一个图形的面积不管你怎么切、怎么拼，面积总量是不变的。切开以后各块面积加起来，还是原来那个图形的面积；补上的那部分面积，从大图形里减掉，剩下来的刚好就是我们要求的面积。

在金博教育的数学课堂上，我们经常跟学生说，割补法与其说是一种计算技巧，不如说是一种思维方式。它训练的是你的空间想象能力和问题拆分能力，这两种能力对学好数学太重要了。

割补法到底什么时候用？

这个问题问得好。我给学生总结了三种情况，遇到任何一种，你就可以考虑用割补法。

第一种情况最直观，就是图形看起来"缺了一块"。比如一个长方形的一个角被切掉了，或者一个圆形中间挖掉了一个小正方形。这种情况下，直接算面积肯定不行，因为没有现成的公式。这时候最好的办法就是先算完整图形的面积，再把多算的那部分减掉。

第二种情况是图形由好几个不规则的碎片拼成，但每个碎片又能拆成几个规则图形。比如一个"L"形的图形，它可以看成是两个长方形拼在一起，也可以看成是一个大正方形挖掉一个小正方形。两种割补思路都能走通，最后算出来的结果应该是一样的。

第三种情况稍微复杂一点，是那种"看着就头疼"的复杂多边形。边数特别多，角度也乱七八糟，公式根本套不上。这时候你需要在图形上找几个关键点，用直线把它切割成三角形或者其他你认识的图形，一块一块算完了加起来。

割补法的两种基本思路

刚才说了割补法有"割"和"补"两种操作，具体怎么用我给你细细道来。

先说"割"的方法。割的关键在于找准切割线。什么样的切割线是好的切割线呢？一般来说，和图形边线平行或垂直的线是比较理想的，因为这样切出来的碎片更容易计算。比如遇到一个歪歪扭扭的五边形，你可以试着用水平或垂直的线把它切成三角形和梯形的组合。另外，切割的次数越少越好——能一刀切解决的问题，就别切两刀。切出来的碎片越规则，计算越简单。

再说"补"的方法。补的思路正好相反，是"有困难要上，没有困难创造困难也要上"。当然这话是开玩笑的，意思是当你发现直接算太麻烦的时候，可以换个角度想想：如果补上一个什么图形，这个不规则图形就能变成一个完美的大矩形或大梯形？补上去的那个图形最好是规则的，而且要容易计算面积的。补完之后，总面积减去补上去的面积，就是我们要的结果。

在金博教育的一对一辅导中，我们发现很多学生一开始容易陷入一个误区：拿到题目就开始盲目地切或者补，搞得图形越来越乱。所以我们特别强调一个原则——动手之前先观察、先规划。看清楚图形的特点，选择最省事的割补方案，有时候同样一道题，好的割补方法能让你少算一半的面积。

手把手教你怎么操作

光说不练假把式，我给你找个具体的例子讲讲怎么实际操作。

假设题目是这样的：计算下面这个图形的面积，单位是厘米。这是一个长方形，长10厘米，宽6厘米，但是右上角被切掉了一个边长2厘米的小正方形。

拿到这道题，你第一眼会怎么想？有的同学可能会尝试直接算，但发现那个缺角的位置很尴尬，直接套公式根本行不通。这时候我们就用补的思想：想象一下，如果把缺掉的那个小正方形补回去会怎样？整个图形就变成了一个完整的长方形！

完整长方形的面积很好算，10乘以6等于60平方厘米。补上去的小正方形面积是2乘以2等于4平方厘米。那么原来的图形面积就是60减4等于56平方厘米。整个过程就三步，看清楚—补回来—算差值，非常顺畅。

我再给你出道题，这回要用割的思想。题目是计算一个"L"形图形的面积。这个图形实际上是由两个长方形拼成的：一个是3厘米乘5厘米的大块，一个是2厘米乘2厘米的小块。如果你垂直切割，可以把它分成一个完整的长方形和一个正方形，分别算出来是15平方厘米和4平方厘米，加起来19平方厘米。如果你水平切割，可能切成一个大的长方形和一个扁的长方形，结果应该是一样的。

你看，割补法的好处在于它给你提供了多条解题路径。条条大路通罗马，你选择最适合自己的那条就行。

这些坑千万别踩

教了这么多年数学，我见过学生用割补法时最容易犯的几个错误，今天一并给你讲清楚，希望你能避开这些坑。

第一个常见错误是割补之后忘记"还原"。什么意思呢？有些同学在割的时候，把图形切得七零八落，然后算完各块面积之后，忘了这些面积加起来才是原图形的面积。或者在补的时候，算完大图形面积之后，忘了减去补上去的那部分。这种错误特别可惜，方法用对了，步骤也对，最后一步算错了。

第二个错误是补得"牛头不对马嘴"。什么意思呢？就是补上去的那个图形和原图形之间有空隙，或者重叠了，这样算出来肯定不对。好的补法应该是严丝合缝的，补上去之后正好和大图形融为一体，中间没有缝隙，也没有多余的部分。所以在补之前，你得在脑子里先想象一下，补完之后是不是一个完美的规则图形。

第三个错误是割的碎片形状太复杂。有些同学为了少割几刀，选择的切割线不对，结果切出来的碎片比原来的图形还难算。比如一个六边形，本来可以很容易地切成两个梯形，结果有个同学非要用斜线切，结果切出一个不规则三角形和一个五边形，反而更麻烦。所以我建议，除非万不得已，尽量切出三角形、正方形、梯形这些有现成公式的规则图形。

怎么帮孩子用好割补法

如果是家长想在家辅导孩子，我有几个建议。首先，不要急着告诉孩子答案。割补法最重要的是"想"的过程，你可以拿着图形和孩子一起观察，问他："你觉得这个图形像什么？""如果在这里加一条线会怎么样？""补上一个什么图形，它就变整齐了？"让孩子自己思考、自己尝试，就算第一次补得不对也没关系，错了才知道什么是对的。

其次，建议准备一些七巧板或者几何图形卡片让孩子动手拼一拼。割补法本质上就是一种图形重组的游戏，孩子玩多了这种游戏，空间感觉自然就出来了。在金博教育的课堂上，我们就经常用这种可视化教学工具，帮助学生建立直观的图形感觉。

最后，我想说的是，割补法不是魔法，它需要大量的练习才能熟练掌握。有些孩子学了一节课觉得自己会了，但换个题目又不会了，这很正常。我通常会让学生准备一个错题本，把做过的割补法题目分类整理好，定期翻出来看看。看得多了，你会发现那些看起来复杂的图形，其实来来回回就那么几种割补套路。

割补法和其他方法的关系

有的家长可能会问，割补法是不是只适用于面积计算？还有没有其他方法可以配合着用？这些问题都很好，我简单回答一下。

其实，割补法属于图形问题的基础方法，学会了对以后学几何帮助很大。初中要学的三角形相似、平行四边形面积推导，高中学的定积分求面积，本质上都有割补的影子。所以小学阶段打好这个基础，绝对不是浪费时间。

当然，割补法不是唯一的方法。有些题目用等积变形更简单，有些题目可以用坐标法，还有的可以用容斥原理。但在小学阶段，割补法是最通用、最容易掌握的方法，而且对培养图形敏感度特别有效。我建议小学生先把这一个方法吃透，等基础打牢了，再接触其他方法。

这张表可以当作一个简单的参考，遇到题目的时候想一想属于哪种情况，对应用什么策略。

记得有个学生后来跟我分享说，用熟了割补法之后，看那些不规则图形再也不害怕了，反而觉得挺有意思的。就像一个拼图游戏，你知道怎么把零散的碎片拼成一幅完整的图画。这种成就感，是学好数学最好的动力。

如果你家孩子也在为图形面积发愁，不妨让他从最基础的割补法练起。找个安静的时间，拿几张纸让他自己画一画、剪一剪、拼一拼。数学这东西，光看是学不会的，必须动手做。做的多了，思路自然就通了。

学习这件事急不得，但只要找对方法、坚持练习，一定能看到进步。祝你和孩子都能在数学学习的路上收获乐趣。